Mardi 8 janvier 2019


Cette semaine de rentrée, chaque étudiant aura 2 questions de cours, et 1 exercice :

  • 1 question de cours sur les systèmes de coordonnées en mécanique,
  • 1 autre question de cours parmi celles du second tableau,
  • puis un exercice de cinématique.

Remarque : On ne sera pas trop « dur » avec les élèves cette semaine en ce qui concerne les projections de vecteurs, car nous ne l’avons pas vraiment vu en cours pour l’instant… On évitera donc de poser un exercice nécessitant la projection d’un vecteur, ou bien on pourra aider l’élève sur ce point en cas de difficultés.

1. Première QdC sur les systèmes de coordonnées

PREMIÈRE QUESTION DE COURS

Q1

  1. Définir sur un schéma les coordonnées cylindriques, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en dérivant le vecteur position.

  4. En déduire l’expression du vecteur accélération

        \[\overrightarrow{a}\]

    , en dérivant le vecteur vitesse.

Les dérivées temporelles de

    \[\overrightarrow{u_r}\]

,

    \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

et

    \[\overrightarrow{u_z}\]

doivent bien entendu être connues par cœur.

Q2
  1. Définir sur un schéma les coordonnées polaires, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en dérivant le vecteur position.

  4. En déduire l’expression du vecteur accélération

        \[\overrightarrow{a}\]

    , en dérivant le vecteur vitesse.

Les dérivées temporelles de

    \[\overrightarrow{u_r}\]

et

    \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

doivent bien entendu être connues par cœur.

Q3
  1. Définir sur un schéma les coordonnées sphériques, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur déplacement élémentaire

        \[d\overrightarrow{OM}\]

    .

  4. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en divisant

        \[d\overrightarrow{OM}\]

    par

        \[dt\]

    .

2. Deuxième question de cours (chapitres C1 et C2)

Q1

 Si un objet se déplace avec vitesse constante de 3 km/h, est-ce que ça veut dire que son accélération est nulle ?

Q2

 On étudie le mouvement circulaire uniforme.

  1. Faire un schéma, en utilisant le système de coordonnées qui vous semble le mieux adapté.
  2. Établir l’expression du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération.

Q3
  1.  Démontrer que si le mouvement est accéléré (la norme de la vitesse augmente) [resp. décéléré (la norme de la vitesse diminue)], on a

        \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}>0\]

    [resp. 

        \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}<0\]

    ].

  2. On prend maintenant l’exemple du mouvement circulaire uniforme (la vitesse est constante en norme).
    • Peut-on alors dire que l’accélération est nulle ? Pourquoi ?
    • D’après la question 1, que peut-on dire de 

          \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}\]

      ?

    • Faire un schéma de la trajectoire circulaire, placer le point

          \[M\]

      à un instant quelconque. Placer les vecteurs de base

          \[\overrightarrow{u_r}\]

      et 

          \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

      . Tracer les vecteurs vitesse

          \[\overrightarrow{v}\]

      et 

          \[\overrightarrow{a}\]

      .

Q4

 Énoncer (correctement ! 😉 ) les trois lois de Newton.

Q5

 Supposons que le référentiel héliocentrique est vraiment galiléen.
Le référentiel géocentrique est-il lui aussi galiléen ?
Et le référentiel terrestre ?

Q6
  • Donner l’expression (vectorielle) de la force d’interaction gravitationnelle entre deux corps de masses

        \[m_A\]

    et

        \[m_B\]

    .

  • Donner l’expression (vectorielle) de la force d’interaction électrostatique entre deux corps de charges électriques

        \[q_A\]

    et

        \[q_B\]

    .

Remarque : Soyez précis ! C’est-à-dire :
– Vous écrivez la force exercée par qui, sur qui ? (Autrement dit : qui est le système ? qui est l’extérieur ?)
– Faites un schéma.
– Si vous avez besoin d’utiliser un vecteur unitaire

    \[\overrightarrow{u}\]

, définissez-le.)

Q7

  Quelles sont les deux modélisations couramment adoptées pour décrire les frottements fluides ?

Q8

  Énoncer les lois de Coulomb du frottement solide.

3. Exercice (sur le chapitre C1 : cinématique)

Compétences travaillées en cours :
Espace et temps classiques. Référentiel d’observation. Caractère relatif du mouvement.
Description d’un mouvement. Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération.
– Savoir établir les expressions des composantes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans le seul cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques.
– Savoir expliquer à partir d’un schéma le déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées, construire la base locale associée et en déduire les composantes du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
– Savoir choisir un système de coordonnées adapté au problème posé.
Exemple 1 : mouvement de vecteur accélération constant
– Obtenir la vitesse et la position en fonction du temps. Obtenir la trajectoire en coordonnées cartésiennes.
Exemple 2 : mouvement circulaire uniforme et non uniforme
– Savoir exprimer les composantes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération en coordonnées polaires planes.
– Identifier les liens entre les composantes du vecteur accélération, la courbure de la trajectoire, la norme du vecteur vitesse et sa variation temporelle.
– Situer qualitativement la direction du vecteur accélération dans la concavité d’une trajectoire plane.