I - La fonction `solve_ivp`

Nous reprenons la résolution numérique d'équations différentielles, étudiée lors de la séance précédente. Nous avons utilisé la méthode d'Euler, que nous avons codé nous-même en Python. En fait, il existe une fonction solve_ivp déjà implémentée dans la bibliothèque scipy qui permet de résoudre numériquement des équations différentielles (mais toujours d'ordre 1 seulement !), avec un algorithme plus performant que celui d'Euler.

1 Pour s'entraîner à l'utiliser sur un exemple simple, reprendre le cas du circuit RC série de la séance précédente, et résoudre numériquement l'équation différentielle avec solve_ivp pour déterminer la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur entre \(t=0\) et \(t=5RC\).

# On importe numpy et matplotlib, et solve_ivp depuis la bibliothèque scipy.integrate : import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import solve_ivp # On définit les valeurs des paramètres physiques du problème : E= R= C # On utilise solve_ivp() pour résoudre l'équation différentielle : # On trace le graphe : fig, ax = plt.subplots() plt.plot(............ , ............ , 'o-' , markersize=3) # tableau des abscisses, tableau des ordonnées plt.title("Tension aux bornes du condensateur") plt.xlabel("Temps en s") plt.ylabel("Tension en V") fig

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2Commenter la solution obtenue : vous semble-t-elle correcte ?

II - Pendule simple aux grands angles

Cette fois-ci, nous allons nous intéresser à un système physique régit par une équation différentielle qui n'admet pas de solution analytique : le pendule simple.
Les conditions initiales seront les suivantes : \[ \begin{Bmatrix} \theta(0)=\theta_0 \\ \dot{\theta}(0)=0 \end{Bmatrix} \]L'angle initial \(\theta_0\) ne sera pas nécessairement petit devant 1 radian.
La longueur du fil sera de \(L=20\text{ cm}\). La pesanteur vaut \(g=9,8\text{ m.s}^{-2}\). On pourra poser \(\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}\).

3Quelle est l'équation différentielle vérifiée par l'angle \(\theta(t)\) ?

4En vous aidant de l'énoncé papier, utiliser solve_ivp pour résoudre numériquement cette équation différentielle entre \(t=0\) et \(t=6\times\frac{2\pi}{\omega_0}\).

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import solve_ivp # Fixer les valeurs des paramètres : ...... ...... ...... ...... ...... ...... # Définir le système d'E.D. à résoudre dans une fonction "systeme(t,Y)" ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... # On trace le graphe fig, ax = plt.subplots() plt.plot(............ , ............) # liste des absisses, liste des ordonnées (à compléter) plt.title("........") plt.xlabel("........") plt.ylabel("........") fig

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On pourra tester plusieurs valeurs d'angles initial \(\theta_0\), éventuellement très proches de \(\pi\) (\(\theta_0 = 0,5\pi\), \(0,8\pi\), \(0,9\pi\), \(0,99\pi\)...).

5Que pensez-vous de l'allure des solutions pour des "grands" angles de départ ?

6Dans l'approximation des petits angles, on rappelle qu'il y a isochronisme des oscillations. Qu'est-ce que cela signifie ?

Que vaut la période des oscillations, dans ce cas ?

7Est-ce encore le cas quand on n'est plus aux "petits angles" ? Pour le savoir, nous allons superposer les courbes de \(\theta(t)\) sur le même graphe, pour 10 valeurs différentes d'angle initial \(\theta_0\) échelonnées entre \(0\) et \(\pi\).
Quelques conseils pour vous aider :

Faire un copier-coller de la cellule précédente dans la cellule vide ci-dessous.
Remplacer la valeur unique la condition initiale theta0 par un tableau numpy contenant 10 valeurs de conditions initiales échelonnées entre \(0\) et \(\pi\).^[Note]
Insérer l'instruction solution = solve_ivp() dans une boucle, en l'adaptant.
Déplacer l'instruction plt.plot() à l'intérieur de cette boucle, pour qu'une nouvelle courbe s'affiche à chaque valeur de \(\theta_0\).

Attention : l'instruction fig,ax=plt.subplots() (qui crée la nouvelle zone de graphique) doit être située avant les plt.plot(). La déplacer au début du programme.
Pour mieux voir, on pourra tracer sur une durée entre \(t=0\) et \(t_f=3\frac{2\pi}{\omega_0}\), au lieu de \(t_f=6\frac{2\pi}{\omega_0}\) précédemment.

...... ...... ......

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Commenter : y a-t-il isochronisme des oscillations ?

FIN DE LA SEANCE
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I - La fonction solve_ivp

II - Pendule simple aux grands angles

I - La fonction `solve_ivp`