INDUCTION – Pendule dans un champ magnétique

Une tige métallique homogène OA, de masse m et de longueur \ell, peut tourner autour d’un axe horizontal (Oz). La liaison pivot en O est supposée parfaite.

L’extrémité mobile A glisse sans frottement sur un profil circulaire, de sorte qu’à chaque instant l’ensemble assure la fermeture d’un circuit électrique constitué d’un condensateur de capacité C, de la tige OA, et de fils électriques. L’ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme et constant \overrightarrow{B}=B\overrightarrow{u_z}.

Montrer que la pulsation des petites oscillations de la tige s’écrit :

\omega_0 = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mg}{\frac{1}{3}m\ell + \frac{1}{4}CB^2\ell^3}}

Donnée :
Moment d’inertie d’une tige de masse m et de longueur \ell par rapport à un axe passant par une extrémité : J=\frac{1}{3}m\ell^2