Du 13/01 au 17/01/2020

Cette semaine, nous attaquons la mécanique, avec pour l’instant la cinématique (le lien entre le mouvement et ses causes : les forces, n’est pas encore abordé).
Les systèmes de coordonnées cartésiennes, et surtout cylindriques, polaires et sphériques doivent être connus PARFAITEMENT.
En revanche, on ne sera pas trop exigeant avec les élèves cette semaine en ce qui concerne les projections de vecteurs, car nous ne l’avons pas vu en cours pour l’instant… Si l’exercice posé nécessite de projeter un vecteur dans une base, il sera peut-être nécessaire d’aider l’élève sur ce point en cas de difficultés.

QUESTIONS DE COURS

Q1

  1. Définir sur un schéma les coordonnées cylindriques, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en dérivant le vecteur position.

  4. En déduire l’expression du vecteur accélération

        \[\overrightarrow{a}\]

    , en dérivant le vecteur vitesse.

Les dérivées temporelles de

    \[\overrightarrow{u_r}\]

,

    \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

et

    \[\overrightarrow{u_z}\]

doivent bien entendu être connues par cœur.

Q2
  1. Définir sur un schéma les coordonnées polaires, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en dérivant le vecteur position.

  4. En déduire l’expression du vecteur accélération

        \[\overrightarrow{a}\]

    , en dérivant le vecteur vitesse.

Les dérivées temporelles de

    \[\overrightarrow{u_r}\]

et

    \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

doivent bien entendu être connues par cœur.

Q3
  1. Définir sur un schéma les coordonnées sphériques, avec la base de projection associée.
  2. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur position

        \[\overrightarrow{OM}\]

    .

  3. A partir du schéma, déterminer l’expression du vecteur déplacement élémentaire

        \[d\overrightarrow{OM}\]

    .

  4. En déduire l’expression du vecteur vitesse

        \[\overrightarrow{v}\]

    , en divisant

        \[d\overrightarrow{OM}\]

    par

        \[dt\]

    .

Q4

 Si un objet se déplace avec vitesse constante de 3 km/h, est-ce que ça veut dire que son accélération est nulle ? Expliquer (il pourra être judicieux de s’appuyer sur un exemple.)

Q5

 On étudie le mouvement circulaire uniforme.

  1. Faire un schéma, en utilisant le système de coordonnées qui vous semble le mieux adapté.
  2. Établir l’expression du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération.

Q6
  1.  Démontrer que si le mouvement est accéléré (la norme de la vitesse augmente) [resp. décéléré (la norme de la vitesse diminue)], on a

        \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}>0\]

    [resp. 

        \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}<0\]

    ].

  2. On prend maintenant l’exemple du mouvement circulaire uniforme (la vitesse est constante en norme).
    • Peut-on alors dire que l’accélération est nulle ? Pourquoi ?
    • D’après la question 1, que peut-on dire de 

          \[\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}\]

      ?

    • Faire un schéma de la trajectoire circulaire, placer le point

          \[M\]

      à un instant quelconque. Placer les vecteurs de base

          \[\overrightarrow{u_r}\]

      et 

          \[\overrightarrow{u_{\theta}}\]

      . Tracer les vecteurs vitesse

          \[\overrightarrow{v}\]

      et 

          \[\overrightarrow{a}\]

      .

Compétences travaillées en cours :
Espace et temps classiques. Référentiel d’observation. Caractère relatif du mouvement.
Description d’un mouvement. Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération.
– Savoir établir les expressions des composantes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans le seul cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques.
– Savoir expliquer à partir d’un schéma le déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées, construire la base locale associée et en déduire les composantes du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
– Savoir choisir un système de coordonnées adapté au problème posé.
Exemple 1 : mouvement de vecteur accélération constant
– Obtenir la vitesse et la position en fonction du temps. Obtenir la trajectoire en coordonnées cartésiennes.
Exemple 2 : mouvement circulaire uniforme et non uniforme
– Savoir exprimer les composantes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération en coordonnées polaires planes.
– Identifier les liens entre les composantes du vecteur accélération, la courbure de la trajectoire, la norme du vecteur vitesse et sa variation temporelle.
– Situer qualitativement la direction du vecteur accélération dans la concavité d’une trajectoire plane.