Du 07/11 au 11/11/2022 – La Physique en PCSI

Cette semaine de rentrée, les colles de Physique seront consacrées :

aux circuits électriques du 1^er ordre en régime transitoire ;

à l’oscillateur harmonique, avec l’exemple mécanique du système masse-ressort et l’exemple électrique du circuit LC.

Certaines questions de cours portent également sur la physique des ondes, mais ce chapitre ne sera pas évalué en exercices.

En exercices, on s’attachera particulièrement à évaluer :

la bonne utilisation des lois de l’électricité (lois des mailles, des nœuds, relations intensité-tension, ponts diviseurs, associations de résistances), sans faire d’erreurs de signe.
la détermination correcte des conditions initiales (même lorsqu’elles sont non triviales), en utilisant les bons arguments physiques (continuité de certains signaux électriques).
- A ce sujet, on fera attention à ne pas confondre $\left\frac{dy}{dt}\right|_{0^+}$ avec $\frac{d\left(y\left(0^+\right)\right)}{dt}$ , c’est-à-dire ne pas confondre la valeur en $0^+$ de la dérivée, avec la dérivée de la valeur en $0^+$ (cette dernière valant bien entendu toujours zéro).
l’aisance à résoudre les équations différentielles linéaires du 1^er ordre à coefficients constants.
l’aptitude des étudiants à vérifier l’homogénéité de leurs résultats finaux.

Quelques remarques :

1 – le portrait de phase n’est désormais plus au programme ;
2 – en mécanique, on ne pourra pas (pour l’instant) poser d’exercices nécessitant de projeter des forces à l’aide de fonctions cosinus et sinus (donc, pas de système masse-ressort sur plan incliné, par exemple) ;
3 – la notion de référentiel galiléen n’a pas encore été abordée ;
4 – seule l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique a été vue (donc, pas de terme d’amortissement).

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

On réalise un circuit « RC série » alimenté par un GBF de classe 1 (la borne noire de sa sortie est reliée à la terre).
On souhaite visualiser à l’oscilloscope (si c’est possible) :
– en voie 1 : la tension aux bornes du GBF,
– en voie 2 : la tension aux bornes du condensateur.
L’oscilloscope est également de classe 1 (les bornes noires de ses deux voies d’entrées sont reliées à la terre).
Reproduire le schéma ci-dessous en dessinant les fils de mesure.
Préciser de quel côté se trouvent la borne rouge et la borne noire du GBF.

Même question, mais cette fois-ci on souhaite visualiser (si c’est possible) :
– en voie 1 : la tension aux bornes du condensateur,
– en voie 2 : la tension aux bornes de la résistance.

Dans le circuit ci-dessous, le condensateur est initialement déchargé, aux temps négatifs : on a $u_C(0^-)=0$ . À $t=0$ , on ferme l’interrupteur.
Établir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur.

Dans le circuit ci-dessous, le condensateur est initialement déchargé. À $t=0$ , on ferme l’interrupteur.
Établir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par l’intensité $i(t)$ .

Effectuer un bilan énergétique dans le circuit de la question 2, entre l’instant initial ( $t=0$ ) et l’établissement du régime permanent ( $t\rightarrow\infty$ ). C’est-à-dire : déterminer dans quelles proportions l’énergie fournie par le générateur se répartit entre le condensateur et la résistance.
L’expression de l’intensité dans le circuit est supposée déjà connue (fournie par l’interrogateur) :

$i(t)=\frac{E}{R}e^{\frac{-t}{RC}}$

• Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans un condensateur/une bobine (au choix de l’interrogateur).
• Démontrer cette expression.

Quel est le comportement équivalent, en régime permanent constant :
• d’un condensateur ?
• d’une bobine ?
Justifier (à partir de la relation intensité-tension).

Soit un dipôle, dont la tension $u$ et l’intensité $i$ sont orientées en convention récepteur.
• A quoi correspond le produit $u\times i$ ?
• Qu’est-ce que cela signifie si ce produit $u\times i$ est négatif ?

Soit un dipôle, dont la tension $u$ et l’intensité $i$ sont orientées en convention générateur.
• A quoi correspond le produit $u\times i$ ?
• Qu’est-ce que cela signifie si ceproduit $u\times i$ est négatif ?

• Quel est le dipôle pour lequel le courant qui le traverse ne peut pas subir de discontinuité au cours du temps ?
• Quel est le dipôle pour lequel la tension à ses bornes ne peut pas subir de discontinuité au cours du temps ?

• Rappeler l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique (forme canonique).
• Donner les deux formes (équivalentes) de la solution générale de cette équation différentielle sans second membre.

Rappeler l’expression (sans démonstration) de l’énergie potentielle élastique $E_{pe}$ d’une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ .

• Écrire l’expression générale d’un signal sinusoïdal $x(t)$ .
• Entourer dans l’expression précédente :
– l’amplitude,
– la phase à l’origine,
– la pulsation,
et expliquer oralement ce qui « change » dans le signal lorsque l’on fait varier chacun de ces trois paramètres (pour réviser, aidez-vous de cette animation : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/sinus.php?typanim=Javascript ).
• Rappeler puis démontrer l’expression de la période $T$ d’un tel signal, en fonction de $\omega$ .

• Donner les deux écritures possibles d’une onde quelconque se propageant le long d’un axe $(Ox)$ dans le sens des $x$ croissants, puis dans le sens des $x$ décroissants.
• Même question, mais cette fois-ci dans le cas particulier d’une onde sinusoïdale (en fonction de la pulsation $\omega$ et de $k=\frac{\omega}{c}$ ).
• Donner l’expression de la période temporelle $T$ et de la période spatiale $\lambda$ , en fonction de $\omega$ ou de $k$ . Quel est le lien entre ces deux périodes ? Le démontrer.

• Qu’appelle-t-on “différence de marche” $\delta$ entre deux ondes, en un point $P$ d’observation ?
• Quel est le lien entre la différence de marche $\delta$ , et le déphasage $\Delta\varphi$ entre deux ondes sinusoïdales ?
• Pour quelle(s) valeurs de $\delta$ (en fonction de la longueur d’onde) a-t-on interférences constructives ? interférences destructives ? (en supposant que les deux ondes sont émises en phase)

ELECTROCINETIQUE

Utiliser la loi des mailles.
Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur.
Citer les ordres de grandeur des intensités et des tensions dans différents domaines d’application.
Utiliser les relations entre l’intensité et la tension pour les dipôles R, L, et C.
Citer les ordres de grandeurs des composants R, L et C.
Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.
Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine.
Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par une résistance équivalente.
Établir et exploiter les relations de diviseurs de tension ou de courant. (Note pour les colleurs : les capacités ou inductances équivalentes à l’association série ou parallèle de condensateurs ou de bobines n’est plus un résultat de cours exigible.)
Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l’évolution d’un système du premier ordre soumis à un échelon.
Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans une bobine.
Établir l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles.
Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon.
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Stockage et dissipation d’énergie : réaliser des bilans énergétiques.

OSCILLATEUR HARMONIQUE

Établir et reconnaître l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique. La résoudre compte tenu des conditions initiales.
Caractériser le mouvement en utilisant les notions d’amplitude, de phase, de période, de fréquence, de pulsation.
Contrôler la cohérence de la solution obtenue avec la conservation de l’énergie mécanique, l’expression de l’énergie potentielle élastique étant ici affirmée.