Du 14/12 au 18/12/2020 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique seront consacrées au régime permanent sinusoïdal forcé.

Certaines questions de cours portent également sur le filtrage fréquentiel de signaux, mais ce chapitre n’est pas au programme des exercices pour l’instant.

Pour les étudiants : vous pouvez tester votre connaissance du cours avec le QCM en ligne.

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

• Écrire l’expression générale d’un signal sinusoïdal $s(t)$ .
• Entourer dans l’expression précédente :
– l’amplitude,
– la phase à l’origine,
– la pulsation,
et expliquer oralement ce qui « change » dans le signal lorsque l’on fait varier chacun de ces trois paramètres (pour réviser, aidez-vous de cette animation : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/sinus.php?typanim=Javascript ).
• Rappeler puis démontrer l’expression de la période $T$ d’un tel signal, en fonction de $\omega$ .

Expliquer oralement ce qu’on appelle le « régime permanent sinusoïdal forcé ».
Que peut-on dire de la réponse du système, par rapport à l’excitation appliquée ?
Définir le complexe $\underline{s}$ associé un signal sinusoïdal $s(t)=S_m cos(\omega t + \varphi)$ . Définir également l’amplitude complexe $\underline{S_m}$ .
Quel est l’intérêt d’utiliser cette notation complexe ?

Définir l’impédance $\underline{Z}$ d’un dipôle linéaire quelconque.
Que vaut son module $\left| \underline{Z} \right|$ et son argument $\arg \left(\underline{Z}\right)$ (le démontrer) ?

Donner, puis démontrer, l’expression de l’impédance d’une résistance, d’une bobine, et d’un condensateur.
En déduire le déphasage de la tension par rapport à l’intensité, pour chacun de ces trois dipôles, en régime sinusoïdal forcé.

Soit le circuit RLC série en régime permanent sinusoïdal forcé à la pulsation $\omega$ .
Calculer l’expression de l’amplitude $I_m$ de l’intensité dans le circuit en fonction de $E_m$ (amplitude de la tension délivrée par le générateur), $R$ , $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ .
Montrer que cette amplitude est maximale pour une pulsation que l’on déterminera. Comment appelle-t-on ce phénomène ?

Soit le circuit RLC série en régime permanent sinusoïdal forcé à la pulsation $\omega$ .
• Calculer l’expression de $\tan \left(\varphi_i \right)$ , la tangente du déphasage de l’intensité dans le circuit $i(t)$ par rapport à la tension $e(t)$ délivrée par le générateur.
• Déterminer les valeurs de ce déphasage à très basses fréquences, très hautes fréquences, et à la fréquence propre. En déduire l’allure de $\varphi_i$ en fonction de $\omega$ .

Pour un phénomène de résonance, rappeler ce qu’on appelle la bande passante.
Puis, pour la cas de la résonance en intensité dans le RLC série, rappeler (sans démonstration) l’expression de la largeur de cette bande passante, en fonction de $\omega_0$ et $Q$ .

• Soit le circuit RLC série en régime permanent sinusoïdal forcé à la pulsation $\omega$ .
Calculer l’amplitude $U_{C,m}$ de la tension aux bornes du condensateur, en fonction de $E_m$ (amplitude de la tension délivrée par le GBF), $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ .
• Puis rappeler rapidement (sans démonstration, pour gagner du temps) :
– La résonance a-t-elle lieu quelle que soit la valeur du facteur de qualité, comme pour la résonance en intensité ?
– Que vaut (approximativement) l’amplitude maximale à la résonance, en fonction de l’amplitude $E_m$ de la tension du générateur ?

Soit un circuit RLC série en régime permanent sinusoïdal forcé à la pulsation $\omega$ .
L’interrogateur vous donne (pour gagner du temps) l’expression de la tension complexe $\underline{u_C}$ dans le circuit, en fonction de la tension complexe $\underline{e}$ délivrée par le générateur :
$\underline{u_C}=\frac{\underline{e}}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2+\frac{j}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}}$
en posant $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ .

Déterminer le déphasage de $u_C(t)$ par rapport à $e(t)$ lorsque $\omega=\omega_0$ , lorsque $\omega \rightarrow 0$ (très basses fréquences), et lorsque $\omega \rightarrow \infty$ (très hautes fréquences).

Soit une masse $m$ suspendue à un ressort (raideur $k$ , longueur à vide $l_0$ ), auquel on impose un mouvement d’oscillation $a(t)=A_m\cos\left(\omega t\right)$ avec un moteur. On prend en compte une force de frottements fluides $\overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}$ .

L’interrogateur vous donne (pour gagner du temps) l’équation différentielle vérifiée par la coordonnée $x(t)$ de la masse, obtenue en appliquant le P.F.D. :
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-k\left( x - A_m\cos\left(\omega t\right) \right) -\alpha\frac{dx}{dt}$

Rq : Comme nous l’avons fait en cours, cette équation provient de la projection sur $\overrightarrow{u_x}$ de :
$m\overrightarrow{a}=-k\left(l-l_0)\overrightarrow{u_x}-\alpha\overrightarrow{v}$

Déterminer l’expression de l’amplitude $X_m$ des oscillations de la masse, en fonction de la pulsation $\omega$ de l’excitation sinusoïdale imposée par le moteur.

Rappeler la décomposition en série de Fourier d’un signal quelconque $s(t)$ périodique, de période $T=\frac{2\pi}{\omega}$ .

1. Soit un signal périodique quelconque $s(t)$ . Donner la définition de sa valeur moyenne $S_{\text{moy}}=\langle s \rangle$ , et de sa valeur efficace $S_{\text{eff}}$ .
2. Que vaut la valeur efficace d’un signal sinusoïdal ?
3. Que vaut la valeur efficace d’un signal périodique quelconque en fonction de la valeur efficace de chacun de ses harmoniques ?
4. Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans un condensateur, à l’instant $t$ . En régime permanent sinusoïdal forcé, que vaut cette énergie en moyenne au cours du temps ? Le justifier.

Sur un exemple au choix, montrer que la fonction de transfert d’un quadripôle dépend de la présence ou non d’une impédance de charge connectée en sortie.

Remarque pour les interrogateurs : nous n’avons pas encore défini la notion d’impédance d’entrée et de sortie.

On réalise un circuit « RLC série » alimenté par un GBF de classe 1 (la borne noire de sa sortie est reliée à la terre). On utilise un oscilloscope également de classe 1 (les bornes noires de ses deux voies d’entrées sont reliées à la terre), pour visualiser les différents signaux qui nous intéressent dans le circuit.

• On souhaite visualiser à l’oscilloscope (si c’est possible) :
– en voie 1 : la tension aux bornes du GBF,
– en voie 2 : la tension aux bornes de la bobine.
Dessiner le circuit, ainsi que les fils de mesure vers les deux voies de l’oscilloscope.
On précisera où se situe la masse du circuit (qui sera reliée à la terre).

• Même question, mais cette fois-ci on souhaite visualiser :
– en voie 1 : la tension aux bornes de la bobine,
– en voie 2 : la tension aux bornes du condensateur.

Toutes les compétences des chapitres précédents.
Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur, d’une bobine en régime sinusoïdal forcé.
Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente.
Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé.
Relier l’acuité d’une résonance forte au facteur de qualité.