Du 18/01 au 22/01/2021 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique seront consacrées (en questions de cours et en exercices) :

à la physique des ondes (interférences, battements, ondes stationnaires) ;
et l’optique géométrique (lois de Snell-Descartes, et formation d’images par les lentilles minces), pour réactiver les connaissances du mois de septembre !

Comme toujours, les compétences exigibles en exercices sont détaillées dans le 2e onglet ci-dessous. En particulier, rappelons que conformément au programme officiel, les relations de conjugaison et de grandissement des lentilles minces doivent être fournies.

Un étudiant qui aura une question de cours sur les ondes, aura un exercice sur l’optique, et inversement.

Bon travail à tous !

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

[Question de TP] Lors de l’acquisition informatique d’un signal analogique, on dit que ce dernier est « échantillonné ». Expliquer en quoi consiste cette opération, et comment doit être choisie la période d’échantillonnage $T_e$ que pour que le signal obtenu soit fidèle au signal de départ.

• Donner les deux écritures possibles d’une onde quelconque se propageant le long d’un axe $(Ox)$ dans le sens des $x$ croissants, puis dans le sens des $x$ décroissants.
• Même question, mais cette fois-ci dans le cas particulier d’une onde sinusoïdale (en fonction de la pulsation $\omega$ et de $k=\frac{\omega}{c}$ ).
• Donner l’expression de la période temporelle $T$ et de la période spatiale $\lambda$ , en fonction de $\omega$ ou de $k$ . Quel est le lien entre ces deux périodes ? Le démontrer.

• Qu’appelle-t-on “différence de marche” $\delta$ entre deux ondes, en un point $P$ d’observation ?
• Quel est le lien entre la différence de marche $\delta$ , et le déphasage $\Delta\varphi$ entre deux ondes sinusoïdales ?
• Pour quelle(s) valeurs de $\delta$ a-t-on interférences constructives ? interférences destructives ?

On superpose deux signaux de même amplitude et de fréquences $f_1$ et $f_2$ légèrement différentes.
• Calculer le signal résultant, et tracer son allure en fonction du temps. Comment appelle-t-on ce phénomène ?
• Préciser la période des battements, et la fréquence du signal modulé par ces battements, en fonction des deux fréquences de départ $f_1$ et $f_2$ .

• Calculer l’onde résultant de la superposition de deux ondes sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation, l’une se propageant dans le sens des $x$ croissants, l’autre dans le sens des $x$ décroissants.
• Pourquoi n’y a-t-il plus de phénomène de propagation ?
• Comment appelle-t-on une telle onde ?

Soit une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde vibrante de longueur $L$ . La corde est fixée à ses deux extrémités (en $x=0$ et en $x=L$ ).

• Montrer par le calcul qu’il n’y a que certaines fréquences autorisées sur cette corde. Donner l’expression de ces fréquences, appelées “fréquences propres” (on notera $c$ la célérité des ondes mécaniques sur cette corde).
• Dessiner l’allure des 3 ou 4 premiers modes de vibration de la corde, et vérifier que la relation entre la longueur d’onde et la longueur $L$ de la corde est bien cohérente avec les résultats trouvés précédemment.

Rappeler la décomposition en série de Fourier d’un signal quelconque $s(t)$ périodique, de période $T=\frac{2\pi}{\omega}$ .

1. Soit un signal périodique quelconque $s(t)$ . Donner la définition de sa valeur moyenne $S_{\text{moy}}=\langle s \rangle$ , et de sa valeur efficace $S_{\text{eff}}$ .
2. Que vaut la valeur efficace d’un signal sinusoïdal ?
3. Que vaut la valeur efficace d’un signal périodique quelconque en fonction de la valeur efficace de chacun de ses harmoniques ?
4. Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans un condensateur, à l’instant $t$ . En régime permanent sinusoïdal forcé, que vaut cette énergie en moyenne au cours du temps ? Le justifier.

L’interrogateur demande de tracer la marche d’un rayon lumineux quelconque en sortie d’une lentille convergente, puis divergente. Exemples :

Lorsqu’un rayon lumineux passe d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, le rayon réfracté se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il de la normale au dioptre ? Le démontrer.

A quelle(s) condition(s) peut-on observer le phénomène de réflexion totale ?
Démontrer l’expression de l’angle d’incidence limite de réflexion totale.

Qu’appelle-t-on « foyer objet », et « foyer image » d’un système optique centré ?

Qu’est-ce qu’un système optique « stigmatique » ?
Est-ce que ça existe ?
Enoncer les conditions de Gauss.

Qu’appelle-t-on « objet réel » ? « objet virtuel » ? « image réelle » ? « image virtuelle » ?

Attention à bien être capable de définir toutes les notions que vous serez amené(e) à invoquer, car l’interrogateur risque de vous poser la question !

Dessiner un miroir plan, et un faisceau conique de rayons émis par un objet lumineux ponctuel situé devant le miroir.
Tracer la marche de ces rayons après réflexion sur le miroir.
Où se situe l’image ? Est-elle réelle ou virtuelle ? Pourquoi ?

Dessiner un miroir plan, et un faisceau de rayons incidents convergeant en un point situé derrière le miroir.
Quelle est la nature de l’objet, pour ce miroir plan ? Pourquoi ? Comment peut-on en pratique obtenir ce type d’objet ?
Tracer ensuite la marche de ces rayons après réflexion sur le miroir.
Où se situe l’image ? Est-elle réelle ou virtuelle ? Pourquoi ?

Quelles conditions doit vérifier la distance focale $f'$ d’une lentille mince, pour projeter l’image d’un objet situé à une distance $D$ donnée d’un écran ?
Démonstration (les relations de conjugaison d’une lentille mince étant fournies).

Déterminer la distance focale $f'$ (ou la vergence $V$ ) de la lentille équivalente à un doublet de deux lentilles accolées.

Ceci n’est pas un résultat de cours exigible dans le programme de PCSI. Toutefois cette démonstration, que nous avons faite en TD, utilise la démarche très classique pour traiter les problèmes d’optique avec plusieurs lentilles, en écrivant les conjugaisons successives. C’est pourquoi je la mets en question de cours.

Comment modéliser un œil sur un banc d’optique ?
Donner l’ordre de grandeur de la limite de résolution angulaire de l’œil.
Expliquer brièvement le phénomène d’accommodation.
Qu’est-ce que la myopie et l’hypermétropie ?
Comment peut-on corriger ces défauts de l’œil ?

PHYSIQUE DES ONDES

Exemples de signaux. Signaux périodiques. Spectres.
• Identifier les grandeurs physiques correspondant à des signaux acoustiques, électriques, électromagnétiques.
• Citer quelques ordres de grandeur de fréquences dans les domaines acoustiques et électromagnétiques.
• Savoir que l’on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales.
• Utiliser un développement en série de Fourier fourni par un formulaire.
• Définir la valeur moyenne et la valeur efficace. Établir par le calcul la valeur efficace d’un signal sinusoïdal.
• Savoir que le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.

Onde progressive dans le cas d’une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive. Célérité, retard temporel.
• Écrire les signaux sous la forme f(x-ct) ou g(x+ct).Écrire les signaux sous la forme f(t-x/c) ou g(t + x/c).
• Prévoir dans le cas d’une onde progressive pure l’évolution temporelle à position fixée, et prévoir la forme à différents instants.

Onde progressive sinusoïdale : déphasage, double périodicité spatiale et temporelle.
• Établir la relation entre la fréquence, la longueur d’onde et la célérité.
Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence.
• Utiliser la représentation de Fresnel pour déterminer l’amplitude de l’onde résultante en un point en fonction du déphasage.
• Exprimer les conditions d’interférences constructives ou destructives.

Battements.

Onde stationnaire mécanique.
• Caractériser une onde stationnaire par l’existence de nœuds et de ventres.
• Exprimer les fréquences des modes propres connaissant la célérité et la longueur de la corde.
• Savoir qu’une vibration quelconque d’une corde accrochée entre deux extrémités fixes se décompose en modes propres.
• Faire le lien avec le vocabulaire de la musique et savoir que le spectre émis par un instrument est en réalité plus complexe.

OPTIQUE GEOMETRIQUE

Diffraction à l’infini.
• Utiliser la relation $\sin \theta \approx \frac{\lambda}{d}$ entre l’échelle angulaire du phénomène de diffraction et la taille caractéristique de l’ouverture.

Indice d’un milieu transparent.
• Relier la longueur d’onde dans le vide et la longueur d’onde dans le milieu.
• Relier la longueur d’onde dans le vide et la couleur.

Approximation de l’optique géométrique et notion de rayon lumineux.
• Définir le modèle de l’optique géométrique et indiquer ses limites.

Réflexion – Réfraction. Lois de Descartes.
• Interpréter la loi de la réfraction à l’aide du modèle ondulatoire.
• Etablir la condition de réflexion totale.
• Utiliser les lois de Descartes.

Formation d’images.
• Miroir plan – Construire l’image d’un objet, identifier sa nature réelle ou virtuelle.
• Conditions de GAUSS – Énoncer les conditions permettant un stigmatisme approché et les relier aux caractéristiques d’un détecteur.
• Connaître les définitions et les propriétés du centre optique, des foyers principaux et secondaires, de la distance focale, de la vergence.
• Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux.
• Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal fournies (DESCARTES, NEWTON).
• Choisir de façon pertinente dans un contexte donné la formulation (DESCARTES ou NEWTON) la plus adaptée.
• Établir et connaître la condition $D \ge 4f'$ pour former l’image réelle d’un objet réel par une lentille convergente.
• Modéliser l’œil comme l’association d’une lentille de vergence variable et d’un capteur fixe. Connaître les ordres de grandeur de la limite de résolution angulaire et de la plage d’accommodation.