Du 20/11 au 24/11/2017 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique seront consacrées :

en questions de cours : oscillateur harmonique, propagation et superposition de signaux (ondes progressives, stationnaires, battements), régimes transitoires du 1^er et du 2^nd ordre.
en exercices : circuits électriques du 2^nd ordre en régime transitoire.

Tous les exercices posés doivent porter l’étude du régime transitoire d’un circuit électrique du 2^nd ordre.

En exercices, on s’attachera particulièrement à évaluer :

la détermination de conditions initiales non triviales (valeurs non évidentes de dérivées à
$t=0^+$

) ;
la détermination de valeurs en régime permanent constant avant la résolution de l’équation différentielle, en utilisant les comportements équivalents des bobines et des condensateurs ;
la détermination de l’équation différentielle régissant l’évolution d’un signal dans le circuit ;
la résolution de cette équation différentielle.

QUESTIONS DE COURS DE CETTE SEMAINE En début de séance, chaque étudiant sera interrogé sur 1 question parmi celles ci-dessous.
Q1	Dans un circuit « RLC série » alimenté par un échelon de tension, montrer que la puissance électrique fournie par le générateur se répartit en : une puissance reçue par le condensateur, une puissance reçue par la bobine, et une puissance reçue (et dissipée) par la résistance.
Q2	Dans le système « masse ressort horizontal » avec frottements fluides de l’air, montrer que la dérivée de l’énergie mécanique par rapport au temps est égale à la puissance de la force de frottement. Interpréter oralement.
Q3	Établir l’équation différentielle du mouvement du système masse-ressort horizontal sans frottement. On pensera à faire un schéma, pour dessiner les vecteurs-force ainsi que pour définir le repère $\left(O, \overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y}\right)$ choisi ! En déduire la pulsation propre $\omega_0$ de cet oscillateur.
Q4	Donner l’expression (sans démonstration) de l’énergie potentielle élastique $\cal{E}_{pe}$ d’une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $\cal{l}_0$ .
Q5	– Écrire l’expression générale d’un signal sinusoïdal $x(t)$ . – Entourer dans l’expression précédente : l’amplitude, la phase à l’origine, la pulsation, et expliquer oralement ce qui « change » dans le signal lorsque l’on fait varier ces paramètres. (Pour réviser, aidez-vous de cette animation). – Rappeler puis démontrer l’expression de la période $T$ d’un tel signal, en fonction de $\omega$ .
Q6	Ecrire la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique quelconque de fréquence $f$ . Qu’appelle-t-on le « fondamental » ? Qu’appelle-t-on les « harmoniques » ?
Q7	– Donner la définition de la valeur efficace d’un signal périodique quelconque. Quel est l’intérêt de cette notion ? – Rappeler la valeur efficace d’un signal sinusoïdal d’amplitude $S_0$ oscillant autour de $0$ . Le démontrer.
Q8	– Donner les deux écritures possibles d’une onde quelconque se propageant le long d’un axe $(Ox)$ dans le sens des $x$ croissants, puis dans le sens des $x$ décroissants. – Même question, mais cette fois-ci dans le cas particulier d’une onde sinusoïdale (en fonction de la pulsation $\omega$ et du nombre d’onde $k$ ). – Donner l’expression de la période temporelle $T$ et de la période spatiale $\lambda$ , en fonction de la pulsation ou du nombre d’onde. Quel est le lien entre ces deux périodes ? Le démontrer.
Q9	En un point $P$ d’observation, on superpose deux signaux sinusoïdaux de même pulsation $\omega$ , d’amplitudes $A_1$ et $A_2$ , déphasés de $\Delta \varphi$ quelconque. – Dessiner les vecteurs de Fresnel associés aux deux signaux, dans le plan de Fresnel à un instant $t$ fixé. – En déduire l’expression de l’amplitude $A$ du signal total. – Que vaut cette amplitude lorsque les deux signaux sont en phase ? lorsqu’ils sont déphasés de $\Delta \varphi = \pi$ ?
Q10	– Qu’appelle-t-on “différence de marche” $\delta$ entre deux ondes, en un point $P$ d’observation ? – Pour quelle(s) valeurs de $\delta$ a-t-on interférences constructives ? interférences destructives ?
Q11	On superpose deux signaux de même amplitude et de fréquences $f_1$ et $f_2$ légèrement différentes. Dessiner l’allure en fonction du temps du signal total. Préciser les périodes caractéristiques apparaissant, en fonction de $f_1$ et $f_2$ . (L’interrogateur pourra éventuellement vous demander une démonstration, ou pas…)
Q12	Calculer l’onde résultant de la superposition de deux ondes sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation, l’une se propageant dans le sens des $x$ croissants, l’autre dans le sens des $x$ décroissants. Pourquoi n’y a-t-il plus de phénomène de propagation ? Comment appelle-t-on une telle onde ?
Q13	Soit une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde vibrante de longueur $L$ . La corde est fixée à ses deux extrémités (en $x=0$ et en $x=L$ ). Montrer par le calcul qu’il n’y a que certaines fréquences autorisées sur cette corde. Donner l’expression de ces fréquences, appelées “fréquences propres” (on notera $c$ la célérité des ondes mécaniques sur cette corde). Tracer l’allure des 3 ou 4 premiers modes de vibration de la corde, et vérifier que la relation entre la longueur d’onde et la longueur $L$ de la corde est bien cohérente avec les résultats trouvés.

CONNAISSANCES ET COMPETENCES EVALUABLES DANS LES EXERCICES CETTE SEMAINE

Utiliser la loi des mailles.
Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur.
Citer les ordres de grandeur des intensités et des tensions dans différents domaines d’application.
Utiliser les relations entre l’intensité et la tension pour les dipôles R, L, et C.
Citer les ordres de grandeurs des composants R, L et C.
Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.
Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine.
Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par une résistance équivalente.
Établir et exploiter les relations de diviseurs de tension ou de courant. (Note pour les colleurs : les capacités ou inductances équivalentes à l’association série ou parallèle de condensateurs ou de bobines n’est plus un résultat de cours exigible.)
Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l’évolution d’un système du premier ordre soumis à un échelon.
Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans une bobine.
Établir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles.
Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon.
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Stockage et dissipation d’énergie : réaliser des bilans énergétiques.
Analyser, sur des relevés expérimentaux, l’évolution de la forme des régimes transitoires en fonction des paramètres caractéristiques.
Prévoir l’évolution du système à partir de considérations énergétiques.
Prévoir l’évolution du système en utilisant un portrait de phase fourni.
Écrire sous forme canonique l’équation différentielle afin d’identifier la pulsation propre et le facteur de qualité.
Connaître la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité. Déterminer la réponse détaillée dans le cas d’un régime libre ou d’un système soumis à un échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, selon la valeur du facteur de qualité.

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

Q10

Q11

Q12

Q13

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