C7 (Mouvement dans un champ de force centrale conservative)

Remarque : Attention, savoir répondre correctement à ce quiz est nécessaire mais n’est en rien suffisant ! S’entraîner à résoudre les exercices vus en TD, ainsi que la connaissance en profondeur du cours (définitions, démonstrations, remarques…) est évidemment indispensable.

Pour l’ensemble des questions,

    \[O\]

est un point fixe dans le référentiel d’étude, supposé galiléen.
[rapid_quiz question= »Pour un mouvement à force centrale uniquement, la direction de la force centrale est orthogonale au déplacement. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »Ce n’est vrai que dans le cas très particulier où la trajectoire est circulaire. »]
[rapid_quiz question= »Pour un mouvement à force centrale, le moment cinétique (par rapport au centre de force

    \[O\]

) est nul. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »Le moment cinétique est constant, mais pas nul. »]
[rapid_quiz question= »Un mouvement à force centrale est toujours plan. » answer= »VRAI » options= »VRAI|FAUX » notes= »C’est une des conséquences de la conservation du vecteur moment cinétique

    \[\\overrightarrow{\\mathcal{L}_O}\]

. Il faut savoir redémontrer cela. »]
[rapid_quiz question= »La constante des aires provient de la conservation de l’énergie mécanique. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »La constante des aires provient de la conservation du vecteur moment cinétique

    \[\\overrightarrow{\\mathcal{L}_O}\]

. »]
[rapid_quiz question= »Pour un mouvement à force centrale, le produit

    \[r^2 (t) \\theta (t)\]

(en coordonnées polaires de centre

    \[O\]

) se conserve. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »La constante des aires est

    \[r^2 (t) \\dot{\\theta} (t)\]

. »]
[rapid_quiz question= »L’énergie potentielle gravitationnelle d’un satellite de masse

    \[m\]

situé à la distance

    \[r\]

du centre de la Terre est

    \[\\mathcal{E}_{pg}(r)=\\frac{\\mathcal{G}M_T m}{r}\]

. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »La force gravitationnelle étant newtonienne (en

    \[1/r^2\]

), l’énergie potentielle associée est effectivement en

    \[1/r\]

. Par contre, il faut bien vérifier que l’énergie potentielle gravitationnelle augmente quand on s’éloigne de la Terre, ce qui n’est pas le cas ici. L’expression correcte est avec un signe moins :

    \[\\mathcal{E}_{pg}(r)=-\\frac{\\mathcal{G}M_T m}{r}\]

(où l’on a choisi la convention habituelle pour la constante d’intégration, à savoir une énergie potentielle nulle en

    \[r=\\infty\]

). »]
[rapid_quiz question= »Si l’énergie mécanique d’un objet céleste dans le champ gravitationnel de la Terre est strictement positive, alors sa trajectoire est une hyperbole. » answer= »VRAI » options= »VRAI|FAUX » notes= »(Remarque : Bien évidemment, cela n’est valable que si l’on fixe la convention

    \[\\mathcal{E}_{pg}=0\]

quand

    \[r=\\infty\]

pour la constante d’intégration de l’énergie potentielle.) »]
[rapid_quiz question= »Lorsqu’un satellite de la Terre est au périgée, sa vitesse est maximale. » answer= »VRAI » options= »VRAI|FAUX » notes= »C’est une conséquence de la conservation de l’énergie mécanique :

    \[\\mathcal{E}_M = \\frac{1}{2}mv^2 - \\frac{\\mathcal{G}mm_O}{r}=Cste\]

donc si

    \[r\]

est minimal,

    \[v\]

est maximale. »]
[rapid_quiz question= »Lorsqu’un satellite de la Terre est à l’apogée, sa vitesse est nulle. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »Lorsqu’un satellite de la Terre est à l’apogée, sa vitesse est minimale, mais elle n’est pas nulle. »]
[rapid_quiz question= »La norme de la vitesse d’un satellite en fonction de ses coordonnées polaires s’écrit

    \[v=r\\dot{\\theta}\]

. » answer= »FAUX » options= »VRAI|FAUX » notes= »La vitesse est

    \[v=\\sqrt{\\left(\\dot{r}\\right)^2+\\left(r\\dot{\\theta}\\right)^2}\]

. On n’a

    \[v=r\\dot{\\theta}\]

que dans le cas d’une trajectoire circulaire (

    \[r=Cste\]

). »]
[rapid_quiz question= »Pour un satellite en trajectoire elliptique autour de la Terre telle que la distance de l’apogée soit le double de celle du périgée (

    \[r_A=2r_P\]

), sa vitesse lorsqu’il passe à l’apogée vaut la moitié de sa vitesse lorsqu’il passe au périgée. » answer= »VRAI » options= »VRAI|FAUX » notes= »Cela s’obtient en écrivant la conservation de la constante des aires entre

    \[A\]

et

    \[P\]

. »]