5-6-9 mai 2025 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique seront consacrées à la thermodynamique :

premier principe (réaliser des bilans d’énergie, hors changements d’état) ;
second principe (réaliser des bilans d’entropie, hors changements d’état).
application des principes de la thermodynamique au fonctionnement des machines thermiques sans changement d’état.

Pour ceux qui ont colle en début de semaine (colles de M. Ehrlacher déplacées, avec MM. Lumia et Bonnand), on évitera les exercices sur les machines thermiques car nous terminerons ce chapitre mardi. En revanche, on pourra poser une question de cours dessus sans problème.

QUELQUES POINTS DE VIGILANCE IMPORTANTS POUR LES INTERROGATEURS
Le programme de thermodynamique en 1re année a beaucoup changé ces dernières années, en 2013 puis en 2021.

• Depuis 2013, l’identité thermodynamique $dU=TdS-PdV$ n’est plus au programme.
• Depuis 2013, l’expression de la fonction d’état entropie $S$ en fonction des variables d’état pour le système considéré doit être systématiquement fournie (par exemple, on doit fournir l’expression de la fonction d’état entropie d’un gaz parfait $S(P,V)$ ou $S(T,V)$ ou $S(P,T)$ … l’une des trois).
• Depuis 2013, l’entropie échangée s’écrit, dans le programme : $S_{ech}=\sum_{i} \frac{Q_i}{T_{ext,i}}$ , ce qui implique donc que les échanges ne s’effectuent qu’avec des thermostats extérieurs ( $T_{ext,i} = cste$ ). Il reste toutefois possible de poser un bilan entropique où la température extérieure n’est pas constante, mais dans ce cas il faudra suggérer à l’étudiant d’écrire l’entropie échangée sous la forme d’une intégrale : $S_{ech}= \int_{(i)}^{(f)} \frac{\delta Q}{T_{ext}(t)}$ et non simplement $S_{ech}=\frac{Q}{T_{ext}}$ .
• Depuis 2021, le premier principe en système ouvert pour un écoulement stationnaire n’est plus au programme de la première année (basculé en 2e année). Tout exercice faisant appel à une exploitation du type « $h_{sortie} - h_{entrée} = w_u + q$ » (écoulement) est donc strictement exclu.

De manière générale, bien se référer au programme officiel de PCSI actuellement en vigueur. Si vous avez un doute, n’hésitez pas à me poser la question.

Par ailleurs, je rappelle que les changements d’état ne sont pas encore au programme des colles de cette semaine.

Remarque pour les étudiants : Il y a beaucoup de questions de cours cette semaine, je sais… Mais ne soyez pas effrayés, les premières sont des questions de l’interro de cours de la semaine dernière que vous avez apprises pendant les vacances et donc que vous connaissez déjà (normalement…).

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

– Qu’est-ce qu’un gaz parfait (hypothèses) ?
– Dans quelles conditions ce modèle décrit correctement les gaz réels ?

[question longue]
– Définir le libre parcours moyen $\bar{\ell}$ dans un fluide.
– Grâce à un modèle de sphères dures, en déduire une expression de $\bar{\ell}$ en fonction du rayon $r$ des particules, et de la densité particulaire $n^*$ . Puis rappeler l’ordre de grandeur de $\bar{\ell}$ dans les liquides et dans les gaz (dans les conditions habituelles).

[question longue]
Grâce à un modèle simple (toutes les particules ont la même vitesse $v^*$ en norme, et les 6 directions $\pm \overrightarrow{u_x}$ , $\pm \overrightarrow{u_y}$ et $\pm \overrightarrow{u_z}$ sont équiprobables), déterminer l’expression de la pression $P$ d’un gaz parfait monoatomique en fonction de la masse $m$ des particules, de leur vitesse quadratique moyenne $v^*$ , et de la densité particulaire $n^*$ .

– Établir l’expression de l’énergie interne d’une mole de gaz parfait monoatomique en fonction de sa température (on pourra partir de l’expression de la vitesse d’agitation microscopique $v^*$ en fonction de la température $T$ ).
– En déduire un ordre de grandeur de cette énergie à température ambiante. Qu’en pensez-vous ?

On fait passer $n$ moles de gaz parfait de l’état $(P_i,V_i,T_0)$ à l’état $(P_f,V_f,T_0)$ , en le maintenant au contact d’un thermostat à $T_0$ (transformation monotherme).
Etablir l’expression du travail $W$ reçu par le gaz dans le cas d’une compression très lente (supposée réversible).
On précisera bien l’hypothèse utilisée à chaque étape du calcul.

On fait passer $n$ moles de gaz parfait de l’état $(P_i,V_i,T_0)$ à l’état $(P_f,V_f,T_0)$ , en le maintenant au contact d’un thermostat à $T_0$ (transformation monotherme).
Etablir l’expression du travail $W$ reçu par le gaz dans le cas d’une compression brutale (monobare : on applique la pression extérieure $P_f$ d’un seul coup).
On précisera bien l’hypothèse utilisée à chaque étape du calcul.

Enoncer le premier principe de la thermodynamique.
(ne pas oublier les hypothèses !)

Donner la définition de l’enthalpie $H$ .
En déduire l’expression de l’enthalpie de $n$ moles de gaz parfait monoatomique.

Dans quel cas peut-on écrire $\Delta H = Q$ ?

Définir les capacités thermiques à pression constante $C_P$ , et à volume constant $C_V$ .
En déduire les valeurs de $C_P$ et $C_V$ pour $n$ moles de gaz parfait monoatomique.

À partir de la relation de Mayer (valable pour un gaz parfait uniquement !) et de la définition du « coefficient $\gamma$ » d’un gaz, déterminer les expressions de $C_{Vm}$ et $C_{Pm}$ en fonction de $\gamma$ et $R$ .

Rappeler la loi de Laplace (celle que vous avez choisi d’apprendre par cœur : en variables $P,V$ par exemple), et ses conditions d’application. Puis, en déduire la loi de Laplace dans les deux autres jeux de variables ( $P,T$ et $T,V$ par exemple).

Énoncer précisément le second principe de la thermodynamique (attention à ne pas oublier les hypothèses !…).
Faire le parallèle avec le premier principe (énergie échangée, énergie créée…).

Rappeler la formule donnant la définition de Boltzmann de l’entropie, d’un point de vue microscopique.
Préciser la signification de la grandeur notée « $\Omega$ » (on pourra expliquer rapidement au tableau en s’appuyant sur un exemple simple).

Pourquoi Ludwig Boltzmann il était triste ? 😢

Démontrer l’inégalité de Clausius pour une machine thermique.

Démontrer l’énoncé historique du Second principe :
« Il n’existe pas de moteur monotherme. »

1° À l’aide d’un schéma, donner le sens réel des échanges énergétiques avec l’extérieur (travail $W$ , chaleur $Q_C$ reçue de la source chaude et chaleur $Q_F$ reçue de la source froide) dans le cas :
– d’un moteur ditherme,
– d’un réfrigérateur/congélateur/climatiseur ditherme,
– d’une pompe à chaleur ditherme.

2° Dans chacun des trois cas, en déduire une définition de l’efficacité en fonction de $W$ , $Q_F$ et $Q_C$ (sans utiliser de valeur absolue).

Démontrer que le rendement d’un moteur ditherme ne peut pas excéder une valeur maximale appelée rendement de Carnot que l’on exprimera en fonction des températures des deux sources de chaleur. Pour quel type de fonctionnement peut-on obtenir ce rendement maximal ?

Démontrer que l’efficacité d’un réfrigérateur ditherme ne peut pas excéder une valeur maximale que l’on exprimera en fonction des températures des deux sources de chaleur. Pour quel type de fonctionnement peut-on obtenir cette efficacité maximale ?

Démontrer que l’efficacité d’une pompe à chaleur ditherme ne peut pas excéder une valeur maximale que l’on exprimera en fonction des températures des deux sources de chaleur. Pour quel type de fonctionnement peut-on obtenir cette efficacité maximale ?

– Définir l’échelle mésoscopique et en expliquer la nécessité.
– Connaissances : Pression, température, volume, équation d’état. Grandeur extensive, grandeur intensive.
– Utiliser le vocabulaire usuel : évolution isochore, isotherme, isobare, monobare, monotherme, transformation adiabatique, variables d’état, fonction d’état, etc.
– Connaître quelques ordres de grandeurs de libres parcours moyens.
– Connaître et utiliser l’équation d’état des gaz parfaits.
– Connaître quelques ordres de grandeur de volumes molaires ou massiques dans les conditions usuelles de pression et de température.

Description des caractères généraux de la distribution des vitesses moléculaires d’un gaz (homogénéité et isotropie). Vitesse quadratique moyenne. Pression cinétique.
– Utiliser un modèle unidirectionnel avec une distribution discrète de vitesse pour montrer que la pression est proportionnelle à la masse des particules, à la densité particulaire et à la vitesse quadratique moyenne au carré.

Température cinétique. Exemple du gaz parfait monoatomique : $E_c=\frac{3}{2} k_B T$ .
– Calculer l’ordre de grandeur d’une vitesse quadratique moyenne dans un gaz parfait.

Energie interne d’un système. Capacité thermique à volume constant dans le cas du gaz parfait.
– Exprimer l’énergie interne d’un gaz parfait monoatomique à partir de l’interprétation microscopique de la température.
– Savoir que $U_m=U_m (T)$ pour un gaz parfait.

Energie interne et capacité thermique à volume constant d’une phase condensée considérée incompressible et indilatable.
– Savoir que $U_m=U_m (T)$ pour une phase condensée incompressible et indilatable.

Approximation des phases condensées peu compressibles et peu dilatables.
– Interpréter graphiquement la différence de compressibilité entre un liquide et un gaz à partir d’isothermes expérimentales.

Du gaz réel au gaz parfait.
– Comparer le comportement d’un gaz réel au modèle du gaz parfait sur des réseaux d’isothermes expérimentales en coordonnées de Clapeyron ou d’Amagat.

Transformation thermodynamique subie par le système.
– Définir le système.
– Exploiter les conditions imposées par le milieu extérieur pour en déterminer l’état d’équilibre final.
– Utiliser le vocabulaire usuel : évolutions isochore, isotherme, isobare, monobare, monotherme.

Travail des forces de pression. Transformations isochore, monobare.
– Calculer le travail par découpage en travaux élémentaires et sommation sur un chemin donné dans le cas d’une seule variable.
– Interpréter géométriquement le travail des forces de pression dans un diagramme de Clapeyron.

Transfert thermique.

Premier principe de la thermodynamique : $\Delta U + \Delta E_M = Q + W$ .
– Définir un système fermé et établir pour ce système un bilan énergétique faisant intervenir le travail et le transfert thermique $Q$ .
– Exploiter l’extensivité de l’énergie interne.
– Distinguer le statut de la variation d’énergie interne du statut des termes d’échange.
– Calculer le transfert thermique $Q$ sur un chemin donné connaissant le travail $W$ et la variation de l’énergie interne $\Delta U$ .

Enthalpie d’un système. Capacité thermique à pression constante dans le cas du gaz parfait et d’une phase condensée incompressible et indilatable.
– Exprimer l’enthalpie $H_m(T)$ du gaz parfait à partir de l’énergie interne.
– Comprendre pourquoi l’enthalpie $H_m$ d’une phase condensée peu compressible peu dilatable peut être considérée comme une fonction de l’unique variable $T$ .
– Exprimer le premier principe sous forme de bilan d’enthalpie dans le cas d’une transformation monobare avec équilibre mécanique dans l’état initial et final.
– Connaître l’ordre de grandeur de la capacité thermique massique de l’eau liquide.

Loi de Laplace.
– Connaître la loi de Laplace et ses conditions d’application.

Deuxième principe : fonction d’état entropie, entropie créée, entropie échangée. $\Delta S = S_{ech} + S_{cr}$ avec $S_{ech}=\sum_{i} \frac{Q_i}{T_i}$ .
– Définir un système fermé et rétablir pour ce système un bilan entropique. Relier l’existence d’une entropie créée à une ou plusieurs causes physiques d’irréversibilité.
– Interpréter qualitativement l’entropie en terme de désordre en s’appuyant sur la formule de Boltzmann (a fait l’objet en classe d’une activité documentaire).

Variation d’entropie d’un système.
– Utiliser l’expression fournie de la fonction d’état entropie.
– Exploiter l’extensivité de l’entropie.

Application du premier principe et du deuxième principe aux machines thermiques cycliques dithermes : rendement, efficacité, théorème de Carnot.
– Donner le sens des échanges énergétiques pour un moteur ou un récepteur thermique ditherme.
– Analyser un dispositif concret et le modéliser par une machine cyclique ditherme.
– Définir un rendement ou une efficacité et la relier aux énergies échangées au cours d’un cycle. Justifier et utiliser le théorème de Carnot.
– Citer quelques ordres de grandeur des rendements des machines thermiques réelles actuelles.

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