Vendredi 06/12/2024 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique seront consacrées au filtrage fréquentiel de signaux.

L’amplificateur linéaire intégré (A.L.I.) n’est pas encore au programme des colles de cette semaine. On ne pourra donc poser que des filtres passifs, pour l’instant.

Depuis 2013, sont HORS PROGRAMME en PCSI :

la connaissance par cœur de fonctions de transfert canoniques,
la loi des nœuds en terme de potentiels (ou le théorème de Millman) : il faut se débrouiller autrement.

Le programme officiel de PCSI est disponible ici .

Note pour les étudiants : Les questions de cours avec un astérisque (*) seront traitées en cours mercredi matin.

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

Expliquer succinctement le principe du calcul de l’incertitude d’une grandeur calculée à partir de grandeurs expérimentales, par la méthode de simulation informatique « Monte-Carlo ».

(Aucune connaissance en langage Python n’est demandée : je vous demande simplement d’expliquer « ce que fait le programme », concrètement.)

Nous avons deux mesures expérimentales d’une même grandeur physique :
– la valeur $x_1$ , avec une incertitude-type $u(x_1)$ ,
– une autre valeur $x_2$ , avec une incertitude-type $u(x_2)$ .
Que faut-il calculer pour savoir si ces deux mesures sont compatibles entre-elles ? Quel est le critère habituellement adopté ?

Révision d’un point de cours du chapitre B4…
Soit un système physique linéaire du 1er ou du 2e ordre. A quelle condition sur les coefficients de l’équation différentielle régissant ce système, sera-t-il stable ? (On ne demande pas de démonstration.)

– Donner, puis démontrer, l’expression de l’impédance d’une résistance, d’une bobine, et d’un condensateur.
– Quel est le comportement équivalent d’un condensateur à très basses fréquences, et à très hautes fréquences ? Le démontrer. Même chose pour une bobine.

Rappeler la décomposition en série de Fourier d’un signal quelconque $s(t)$ périodique, de période $T=\frac{2\pi}{\omega}$ (on ne demande pas comment calculer les coefficients).

1. Soit un signal périodique quelconque $s(t)$ . Donner la définition de sa valeur moyenne $S_{\text{moy}}=\langle s \rangle$ , et de sa valeur efficace $S_{\text{eff}}$ .
2. Que vaut la valeur efficace d’un signal sinusoïdal ? (sans démonstration)
3. Que vaut la valeur efficace d’un signal périodique quelconque en fonction de la valeur efficace de chacun de ses harmoniques ? (sans démonstration)
4. Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans un condensateur, à l’instant $t$ . En régime permanent sinusoïdal forcé, que vaut cette énergie en moyenne au cours du temps ? Le justifier.

Donner les définitions, pour un quadripôle :
– de la fonction de transfert $\underline{H}$ ,
– du gain $G$ ,
– du gain en décibels $G_{dB}$ .

Sur un exemple au choix, montrer que la fonction de transfert d’un quadripôle dépend de la présence ou non d’une impédance de charge connectée en sortie.

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en gain ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier les pentes des deux asymptotes du diagramme de Bode en gain (à basses et à hautes fréquences)

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en phase ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier valeurs des asymptotes horizontales du diagramme de Bode en phase (à basses et à hautes fréquences).

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en gain ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier les pentes des deux asymptotes du diagramme de Bode en gain (à basses et à hautes fréquences).

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en phase ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier valeurs des asymptotes horizontales du diagramme de Bode en phase (à basses et à hautes fréquences).

13*

L’interrogateur donne la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 2^nd ordre, ainsi que son diagramme de Bode en gain (les différentes couleurs correspondent à différentes valeurs du paramètre $Q$ ) :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}$

où on a posé $x=\frac{\omega}{\omega_0}$ , avec ici $H_0 = 1$ .
Justifier les pentes des deux asymptotes (à basses et à hautes fréquences).
Expliquer ce qui se passe aux alentours de $x=1$ . Est-ce souhaitable pour un filtre passe-bas ? Comment choisir alors le paramètre $Q$ ?

14*

L’interrogateur donne la fonction de transfert et le diagramme de Bode en gain d’un filtre passe-bande du 2^nd ordre (les différentes courbes correspondent à différentes valeurs du paramètre $Q$ ) :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{x}{Q}}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}$

où on a posé $x=\frac{\omega}{\omega_0}$ , avec ici $H_0 = 1$ .
Justifier les pentes des asymptotes à basses fréquences et à hautes fréquences.
Comment choisir la valeur du paramètre $Q$ pour avoir un filtre très sélectif ?

15*

L’interrogateur fournit :
• La fonction de transfert d’un passe-bas du 1^er ordre :
$\underline{H}=H_0\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$
• La fonction de transfert d’un passe-haut du 1^er ordre :
$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

Indiquer (en le justifiant) quel type de filtre utiliser et dans quelles conditions pour obtenir un filtre :
– dérivateur ;
– intégrateur ;
– moyenneur.

16*

Définir l’impédance d’entrée, et l’impédance de sortie d’un quadripôle.
Proposer un exemple.

17*

Rappeler (sans démonstration) la condition à respecter lors d’une mise en cascade de plusieurs filtres les uns à la suite des autres, pour que la fonction de transfert (en sortie ouverte) de l’ensemble soit égale au produit des fonctions de transfert (en sorties ouvertes) de chacun.

Donner la configuration du pont diviseur de tension (avec les impédances), et la formule associée. Puis démontrer la formule.
(Inspirez-vous de la démonstration avec les résistances au chapitre B1 : c’est la même.)

Donner la configuration du pont diviseur de courant (avec les impédances), et la formule associée. Puis démontrer la formule.
(Inspirez-vous de la démonstration avec les résistances au chapitre B1 : c’est la même.)

CHAPITRE B5 : Régime sinusoïdal forcé
– Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur, d’une bobine en régime sinusoïdal forcé.
– Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente.
– Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé.
– Relier l’acuité d’une résonance forte au facteur de qualité.
– Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes expérimentaux d’amplitude et de phase
CHAPITRE B6 : Filtrage de signaux
– Savoir que l’on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales.
– Définir la valeur moyenne et la valeur efficace.
– Établir par le calcul la valeur efficace d’un signal sinusoïdal.
– Savoir que le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
– Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour conduire l’étude de la réponse d’un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme finie d’excitations sinusoïdales, à un signal périodique.
– Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode d’après l’expression de la fonction de transfert.
– Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre afin de l’utiliser comme moyenneur, intégrateur, ou dérivateur.
– Comprendre l’intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et de forte impédance d’entrée.