Du 25/03 au 29/03/2024 – La Physique en PCSI

Au programme de ces dernières colles de mécanique :

Mouvement de particules chargées dans un champ $\overrightarrow{E}$ ou/et $\overrightarrow{B}$ ;
Mouvements à forces centrales ;
Mécanique du solide (cas du solide en rotation autour d’un axe fixe).

Il s’agit du même programme que le DS à venir ce samedi.

Le théorème du moment cinétique est donc au programme puisqu’il est nécessaire pour traiter les forces centrales et pour le solide en rotation.

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

Expliquer pourquoi un champ magnétique peut dévier la trajectoire d’une particule chargée mais ne peut pas modifier la norme de sa vitesse (une démonstration est demandée).

Comment peut-on au laboratoire générer un champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme ?
Préciser la norme $E$ du champ ainsi généré, en fonction des paramètres du montage.

Une particule chargée $q$ et de masse $m$ , initialement immobile en $A$ , est accélérée par une tension (différence de potentiel) $U=V_A-V_B$ appliquée entre deux plaques parallèles $A$ et $B$ . Par un bilan énergétique, déterminer sa vitesse atteinte en $B$ .

Déterminer le rayon de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme dans le cas particulier où le vecteur-vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétique, en admettant que cette trajectoire est circulaire.

– Définir le moment d’une force par rapport à un point $O$ , et par rapport à un axe $\Delta$ .
– Définir le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point $O$ , et par rapport à un axe $\Delta$ .

Énoncer puis démontrer le théorème du moment cinétique par rapport à un point $O$ .
(Ne pas oublier les hypothèses !…)

Exercice de cours : le pendule simple, avec comme conditions initiales $\theta(0)=\theta_0$ et $\dot{\theta}(0)=0$ .
• Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant le T.M.C.
• Déterminer l’intégrale première du mouvement.
(Evidemment, on fera un schéma, avec l’angle $\theta$ , la base polaire, et les vecteurs-forces).

– Qu’appelle-t-on une force centrale ?
– Qu’appelle-t-on une force newtonienne ?
– Donner deux exemples de forces centrales newtoniennes.
– Déterminer l’expression de l’énergie potentielle associée à une force centrale newtonienne, en utilisant la convention habituelle pour la constante.

1. Montrer qu’un point matériel soumis uniquement à une force centrale voit son moment cinétique conservé.
2. En déduire deux conséquences immédiates importantes.

Exprimer la conservation de l’énergie mécanique pour un point matériel soumis uniquement à une force centrale newtonienne, et construire une « énergie potentielle effective » permettant d’étudier uniquement la coordonnée polaire radiale $r(t)$ .
Puis discuter de la nature du mouvement, suivant la valeur de l’énergie mécanique.
On traitera le cas d’une force newtonienne attractive, puis d’une force newtonienne répulsive.

– Déterminer l’expression de la vitesse puis de l’énergie mécanique d’un satellite de masse $m$ en orbite supposée circulaire de rayon $R$ autour d’une planète de masse $m_O$ .
– Sans démonstration, comment généraliser cette expression de l’énergie mécanique au cas où la trajectoire est elliptique (demi-grand axe $a$ , demi-petit axe $b$ ) ?

Déterminer la vitesse $v$ d’un satellite en orbite circulaire de rayon $R$ autour de la Terre. En déduire le rayon $R_{geostat}$ de l’orbite géostationnaire (vous pouvez demander à l’interrogateur les valeurs numériques des constantes dont vous auriez éventuellement besoin pour l’application numérique).

– Définir ce qu’on appelle la « première vitesse cosmique », puis déterminer son expression pour la Terre.
– Rappeler son ordre de grandeur (qui est donc à connaître).

– Définir ce qu’on appelle la « deuxième vitesse cosmique », puis déterminer son expression pour la Terre.
– Rappeler son ordre de grandeur (qui est donc à connaître).

Définir le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe.

– Définir, de la manière générale, le moment cinétique d’un solide par rapport à un axe $\Delta$ .
– Puis, dans le cas particulier où le solide en rotation autour d’un axe $\Delta$ fixe à la vitesse angulaire $\omega$ , démontrer la relation entre le moment cinétique $\cal{L}_\Delta$ du solide par rapport l’axe $\Delta$ , sa vitesse de rotation $\omega$ autour de cet axe, et son moment d’inertie $J_\Delta$ par rapport à cet axe.

– Énoncer (sans démonstration) la loi du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe.
– Comparer cette loi à celle de la quantité de mouvement pour un solide en translation pure, en mettant en évidence les correspondances (grandeurs inertielles, actions extérieures, élément cinétique caractérisant le mouvement).

[Nous le ferons en cours lundi]
– Définir de manière générale l’énergie cinétique d’un solide.
– Puis démontrer son expression dans le cas particulier d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, en fonction de la vitesse angulaire.
– Comparer cette expression à celle de l’énergie cinétique d’un solide en translation pure.

[Nous le ferons en cours lundi]
– Déterminer l’expression de l’énergie potentielle de torsion, associée au couple de torsion d’un fil ${\cal C} =- C \theta$ .
– Mettre en évidence l’analogie avec l’énergie potentielle élastique associée à la force de rappel d’un ressort.

Toutes les compétences de la partie Mécanique du cours depuis le début !