Vendredi 13/12/2024 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique porteront sur le filtrage fréquentiel de signaux, et sur l’Amplificateur Linéaire Intégré (A.L.I.).

Attention, seul l’A.L.I. idéal et en régime linéaire est au programme de 1re année PCSI. Le fonctionnement en régime saturé (ainsi que la connaissance des défauts de l’ALI) sont donc hors programme en 1re année.

Le théorème de Millman (ou « loi des nœuds en termes de potentiel ») n’est pas au programme de PCSI. Les étudiants ne pourront donc l’utiliser qu’à condition qu’ils le démontrent au préalable, à partir des relations au programme (loi des nœuds, et loi d’Ohm).

Le programme officiel de PCSI (disponible ici ) stipule : « L’introduction de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal et en régime linéaire doit être perçue comme une découverte et ne pas donner lieu à des dérives calculatoires. »

Comme d’habitude, les compétences telles qu’elles apparaissent dans le programme sont rappelées dans le deuxième onglet ci-dessous. Dans l’étude de quadripôles de filtrage, la connaissance par cœur de fonctions de transfert canoniques n’est pas exigible.

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

Rappeler la décomposition en série de Fourier d’un signal quelconque $s(t)$ périodique, de période $T=\frac{2\pi}{\omega}$ .

1. Soit un signal périodique quelconque $s(t)$ . Donner la définition de sa valeur moyenne $S_{\text{moy}}=\langle s \rangle$ , et de sa valeur efficace $S_{\text{eff}}$ .
2. Que vaut la valeur efficace d’un signal sinusoïdal ?
3. Que vaut la valeur efficace d’un signal périodique quelconque en fonction de la valeur efficace de chacun de ses harmoniques ?
4. Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans un condensateur, à l’instant $t$ . En régime permanent sinusoïdal forcé, que vaut cette énergie en moyenne au cours du temps ? Le justifier.

Sur un exemple au choix, montrer que la fonction de transfert d’un quadripôle dépend de la présence ou non d’une impédance de charge connectée en sortie.

Donner les définitions, pour un quadripôle :
– de la fonction de transfert $\underline{H}$ ,
– du gain $G$ ,
– du gain en décibels $G_{dB}$ .

Définir l’impédance d’entrée, et l’impédance de sortie d’un quadripôle.
Proposer un exemple.

Rappeler (sans démonstration) la condition à respecter lors d’une mise en cascade de plusieurs filtres les uns à la suite des autres, pour que la fonction de transfert de l’ensemble soit égale au produit des fonctions de transfert de chacun.

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en gain ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier les pentes des deux asymptotes du diagramme de Bode en gain (à basses et à hautes fréquences)

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en phase ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier valeurs des asymptotes horizontales du diagramme de Bode en phase (à basses et à hautes fréquences).

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en gain ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier les pentes des deux asymptotes du diagramme de Bode en gain (à basses et à hautes fréquences).

L’interrogateur vous donne le diagramme de Bode en phase ainsi que la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du 1^er ordre :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

avec ici $H_0 = 1$ . Justifier valeurs des asymptotes horizontales du diagramme de Bode en phase (à basses et à hautes fréquences).

L’interrogateur donne la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du 2^nd ordre, ainsi que son diagramme de Bode en gain (les différentes couleurs correspondent à différentes valeurs du paramètre $Q$ ) :

$\underline{H}=H_0\frac{1}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}$

où on a posé $x=\frac{\omega}{\omega_0}$ , avec ici $H_0 = 1$ .
Justifier les pentes des deux asymptotes (à basses et à hautes fréquences).
Expliquer ce qui se passe aux alentours de $x=1$ . Est-ce souhaitable pour un filtre passe-bas ? Comment choisir alors le paramètre $Q$ ?

L’interrogateur donne la fonction de transfert et le diagramme de Bode en gain d’un filtre passe-bande du 2^nd ordre (les différentes courbes correspondent à différentes valeurs du paramètre $Q$ ) :

$\underline{H}=H_0\frac{j\frac{x}{Q}}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}$

où on a posé $x=\frac{\omega}{\omega_0}$ , avec ici $H_0 = 1$ .
Justifier les pentes des asymptotes à basses fréquences et à hautes fréquences.
Peut-on dire qu’il y a toujours résonance ici, ou bien cela dépent-il de la valeur de $Q$ ?
Comment choisir la valeur du paramètre $Q$ pour avoir un filtre très sélectif ?

L’interrogateur fournit :
• La fonction de transfert d’un passe-bas du 1^er ordre :
$\underline{H}=\frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$
• La fonction de transfert d’un passe-haut du 1^er ordre :
$\underline{H}=\frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$

Indiquer (en le justifiant) quel type de filtre utiliser et dans quelles conditions pour obtenir un filtre :
– dérivateur ;
– intégrateur ;
– moyenneur.

Rappeler la définition habituelle de la « pulsation de coupure » (en utilisant le gain $G$ , puis le gain en décibels $G_{dB}$ ).

Donner la schématisation d’un amplificateur linéaire intégré.
Quelles relations peut-on écrire pour un A.L.I. idéal et fonctionnant en régime linéaire ?

CHAPITRE B5 : Régime sinusoïdal forcé
– Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur, d’une bobine en régime sinusoïdal forcé.
– Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente.
– Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé.
– Relier l’acuité d’une résonance forte au facteur de qualité.
– Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes expérimentaux d’amplitude et de phase

CHAPITRE B6 : Filtrage de signaux
– Savoir que l’on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales.
– Définir la valeur moyenne et la valeur efficace.
– Établir par le calcul la valeur efficace d’un signal sinusoïdal.
– Savoir que le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
– Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour conduire l’étude de la réponse d’un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme finie d’excitations sinusoïdales, à un signal périodique.
– Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode d’après l’expression de la fonction de transfert.
– Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre afin de l’utiliser comme moyenneur, intégrateur, ou dérivateur.
– Comprendre l’intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et de forte impédance d’entrée.

CHAPITRE B7 : Filtres actifs en électronique. Modèle de l’ALI idéal en régime linéaire.
– Identifier la présence d’une rétroaction sur la borne inverseuse comme un indice de fonctionnement en régime linéaire.
– Établir la relation entrée-sortie des montages non inverseur, suiveur, inverseur, intégrateur.
– Déterminer les impédances d’entrée de ces montages.