Vendredi 21/03/2025 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique sont consacrées :

à l’aspect énergétique de la mécanique du point (chapitre C3) ;
au mouvement de particules chargées dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et stationnaire (chapitre C5).

Remarques pour les interrogateurs :

J’ai fait le choix de ne pas introduire dès maintenant l’opérateur gradient. Ainsi le lien entre une force conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive est $dE_p=-\overrightarrow{F_c}\cdot d\overrightarrow{OM}$ . (Nous verrons la formule $\overrightarrow{F_c}=-\overrightarrow{grad}\left({\cal E}_p\right)$ plus tard dans l’année, au mois de mai.)
Les élèves n’ont pas encore fait en maths le chapitre sur les développements limités et la formule de Taylor-Young. Comme je ne peux plus attendre et dois avancer dans le programme, je leur ai donné cette formule, on a l’expliquée, et on a fait quelques exemples d’application. Mais il est possible qu’ils ne soient pas très à l’aise avec… N’hésitez pas à les aider sur ces points mathématiques, s’il y a besoin dans vos exercices, en attendant qu’ils aient fait ce chapitre en maths.

Questions de cours
Exercice(s)

Exercice de cours : le pendule simple, avec comme conditions initiales $\theta(0)=\theta_0$ et $\dot{\theta}(0)=0$ .
• Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant le T.E.C.
• Déterminer l’intégrale première du mouvement.
(Evidemment, on fera un schéma, avec l’angle $\theta$ , la base polaire, et les vecteurs-forces).

Exercice de cours : le pendule simple, avec comme conditions initiales $\theta(0)=\theta_0$ et $\dot{\theta}(0)=0$ .
• Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant le T.E.M.
• Déterminer l’intégrale première du mouvement.
(Evidemment, on fera un schéma, avec l’angle $\theta$ , la base polaire, et les vecteurs-forces).

• Définir le travail élémentaire d’une force.
• Définir son travail au cours d’un déplacement fini.
• Définir la puissance d’une force.

• Énoncer le théorème de l’énergie cinétique :
– sous forme différentielle,
– sous forme intégrale (entre deux positions $A$ et $B$ ),
– et sous forme dérivée (appelé aussi « théorème de la puissance cinétique »).
• Puis : le démontrer (à partir du P.F.D.).

Énoncer le théorème de l’énergie mécanique :
– sous forme différentielle,
– sous forme intégrale (entre deux positions $A$ et $B$ ),
– et sous forme dérivée (appelé aussi « théorème de la puissance mécanique »).
Puis : le démontrer (à partir du T.E.C.).

• Donner la relation entre une force conservative $\overrightarrow{F}$ et l’énergie potentielle $\E_p$ associée.
• Application : grâce à cette relation, déterminer l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ associée au poids.

• Donner la relation entre une force conservative $\overrightarrow{F}$ et l’énergie potentielle $E_p$ associée.
• Application : grâce à cette relation, déterminer l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle $E_{pg}$ associée à la force gravitationnelle (dans le cas d’une masse ponctuelle $m_O$ en $O$ générant cette force sur une masse $m$ , qui est le système considéré).

• Donner la relation entre une force conservative $\overrightarrow{F}$ et l’énergie potentielle $E_p$ associée.
• Application : grâce à cette relation, déterminer l’expression de l’énergie potentielle électrostatique $E_{pel}$ associée à la force électrostatique (dans le cas d’une charge ponctuelle $q_O$ en $O$ générant cette force sur une charge $q$ , qui est le système considéré).

• Donner la relation entre une force conservative $\overrightarrow{F}$ et l’énergie potentielle $E_p$ associée.
• Application : grâce à cette relation, déterminer l’expression de l’énergie potentielle électrostatique $E_{pel}$ associée à la force électrostatique (dans le cas d’un champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme).

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

• Expliquer pourquoi l’énergie potentielle ne peut pas dépasser la valeur ${\cal E}_M$ de l’énergie mécanique.
• Comment qualifie-t-on un système qui est « coincé » dans une zone de l’espace ? A l’inverse, que dit-on quand il peut s’éloigner à l’infini ?

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

• Démontrer que les positions d’équilibre correspondent aux extremums du profil d’énergie potentielle ${\cal E}_p(x)$ .
• Démontrer que l’équilibre est stable quand l’énergie potentielle est minimale (et inversement, que l’équilibre est instable quand l’énergie potentielle est maximale).

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

Montrer que l’on peut approximer le mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable par un oscillateur harmonique, et déterminer la pulsation des petites oscillations au voisinage de cet équilibre (en fonction de la masse $m$ de la particule, et de $\frac{d^2{\cal E}_p}{dx^2}\rvert_{x=x_{eq}}$ ).

Expliquer pourquoi un champ magnétique peut dévier la trajectoire d’une particule chargée mais ne peut pas modifier la norme de sa vitesse (une démonstration est demandée).

Comment peut-on au laboratoire générer un champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme ?
Préciser la norme $E$ du champ ainsi généré, en fonction des paramètres du montage.

Une particule chargée $q$ et de masse $m$ , initialement immobile en $A$ , est accélérée par une tension (différence de potentiel) $U=V_A-V_B$ appliquée entre deux plaques parallèles $A$ et $B$ . Par un bilan énergétique, déterminer sa vitesse atteinte en $B$ .

Déterminer le rayon de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme dans le cas particulier où le vecteur-vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétique, en admettant que cette trajectoire est circulaire.

ASPECT ENERGETIQUE DE LA DYNAMIQUE

Puissance et travail d’une force.
– Reconnaître le caractère moteur ou résistant d’une force.
– Savoir que la puissance dépend du référentiel.
Loi de l’énergie cinétique et loi de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen.
– Utiliser la loi appropriée en fonction du contexte.
Energie potentielle. Energie mécanique.
– Établir et connaître les expressions des énergies potentielles de pesanteur (champ uniforme), énergie potentielle gravitationnelle (champ créé par un astre ponctuel), énergie potentielle élastique, énergie électrostatique (champ uniforme et champ créé par une charge ponctuelle).
Mouvement conservatif.
– Distinguer force conservative et force non conservative. Reconnaître les cas de conservation de l’énergie mécanique. Utiliser les conditions initiales.
– Déduire d’un graphe d’énergie potentielle le comportement qualitatif : trajectoire bornée ou non, mouvement périodique, positions de vitesse nulle.
Positions d’équilibre. Stabilité.
– Déduire d’un graphe d’énergie potentielle l’existence de positions d’équilibre, et la nature stable ou instable de ces positions.
Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable, approximation locale par un puits de potentiel harmonique.
– Identifier cette situation au modèle de l’oscillateur harmonique.
– Utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires

MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGÉES DANS UN CHAMP ELECTRIQUE PUIS MAGNÉTIQUE UNIFORME ET PERMANENT

Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle : champ électrique et magnétique
– Evaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces gravitationnelles.

Puissance de la force de Lorentz
– Savoir qu’un champ électrique peut modifier l’énergie cinétique d’une particule alors qu’un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d’énergie à la particule.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
– Mettre en équation le mouvement et le caractériser comme un mouvement à vecteur-accélération constant.
– Effectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d’une particule chargée accélérée par une différence de potentiel.

Mouvement circulaire d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme dans le cas où le vecteur-vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétique
– Déterminer le rayon de la trajectoire.

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