Vendredi 28/03/2025 – La Physique en PCSI

Cette semaine, les colles de Physique sont consacrées :

au mouvement de particules chargées dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et stationnaire (chapitre C5),
au théorème du moment cinétique pour un point matériel (chapitre C6) – la mécanique du solide n’est pas programme des colles de ce vendredi.
au mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (chapitres C7).

Bien entendu, les savoirs-faire liés aux chapitres précédents (cinématique, PFD, théorèmes énergétiques, mouvement au voisinage d’un équilibre stable…) restent indirectement « au programme » puisqu’ils peuvent toujours être nécessaires pour résoudre un problème de mécanique.

Pour information, les étudiants auront un devoir surveillé de 4 heures sur toute la mécanique (hors mécanique du solide) le lendemain matin de ces colles.

Remarques importantes pour les interrogateurs :

J’ai fait le choix de ne pas introduire dès maintenant l’opérateur gradient. Ainsi le lien entre une force conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive est $dE_p=-\overrightarrow{F_c}\cdot d\overrightarrow{OM}$ . (Nous verrons la formule $\overrightarrow{F_c}=-\overrightarrow{grad}\left({\cal E}_p\right)$ plus tard dans l’année, au mois de mai.)
Le calcul du moment d’une force par la méthode du bras de levier n’a pas encore été vue. Nous l’aborderons lorsque nous ferons la mécanique du solide.

Questions de cours
Exercice(s)

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

• Expliquer pourquoi l’énergie potentielle ne peut pas dépasser la valeur ${\cal E}_M$ de l’énergie mécanique.
• Comment qualifie-t-on un système qui est « coincé » dans une zone de l’espace ? A l’inverse, que dit-on quand il peut s’éloigner à l’infini ?

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

• Démontrer que les positions d’équilibre correspondent aux extremums du profil d’énergie potentielle ${\cal E}_p(x)$ .
• Démontrer que l’équilibre est stable quand l’énergie potentielle est minimale (et inversement, que l’équilibre est instable quand l’énergie potentielle est maximale).

Soit un mouvement conservatif (c’est-à-dire ${\cal E}_M=cste$ ) à 1 degré de liberté (appelons-le par exemple $x$ , mais ça pourrait aussi être un angle $\theta$ …).

Montrer que l’on peut approximer le mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable par un oscillateur harmonique, et déterminer la pulsation des petites oscillations au voisinage de cet équilibre (en fonction de la masse $m$ de la particule, et de $\frac{d^2{\cal E}_p}{dx^2}\rvert_{x=x_{eq}}$ ).

Expliquer pourquoi un champ magnétique peut dévier la trajectoire d’une particule chargée mais ne peut pas modifier la norme de sa vitesse (une démonstration est demandée).

Comment peut-on au laboratoire générer un champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme ?
Préciser la norme $E$ du champ ainsi généré, en fonction des paramètres du montage.

Une particule chargée $q$ et de masse $m$ , initialement immobile en $A$ , est accélérée par une tension (différence de potentiel) $U=V_A-V_B$ appliquée entre deux plaques parallèles $A$ et $B$ . Par un bilan énergétique, déterminer sa vitesse atteinte en $B$ .

Déterminer le rayon de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme dans le cas particulier où le vecteur-vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétique, en admettant que cette trajectoire est circulaire.

– Définir le moment d’une force par rapport à un point $O$ , et par rapport à un axe $\Delta$ .
– Définir le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point $O$ , et par rapport à un axe $\Delta$ .
(Rappel : mécanique du solide n’est pas au programme des colles cette semaine.)

Énoncer puis démontrer le théorème du moment cinétique par rapport à un point $O$ .
Ne pas oublier les hypothèses !…
(Rappel : le système est un point matériel et non un solide; mécanique du solide n’est pas encore au programme des colles cette semaine.)

Exercice de cours : le pendule simple, avec comme conditions initiales $\theta(0)=\theta_0$ et $\dot{\theta}(0)=0$ .
• Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant le T.M.C.
• Déterminer l’intégrale première du mouvement.
(Evidemment, on fera un schéma, avec l’angle $\theta$ , la base polaire, et les vecteurs-forces).

– Qu’appelle-t-on une force centrale ?
– Qu’appelle-t-on une force newtonienne ?
– Donner deux exemples de forces centrales newtoniennes.
– Déterminer l’expression de l’énergie potentielle associée à une force centrale newtonienne, en utilisant la convention habituelle pour la constante.

1. Montrer qu’un point matériel soumis uniquement à une force centrale voit son moment cinétique conservé.
2. En déduire deux conséquences immédiates importantes.

Exprimer la conservation de l’énergie mécanique pour un point matériel soumis uniquement à une force centrale newtonienne, et construire une « énergie potentielle effective » permettant d’étudier uniquement la coordonnée polaire radiale $r(t)$ .
Puis discuter de la nature du mouvement, suivant la valeur de l’énergie mécanique.
On traitera le cas d’une force newtonienne attractive, puis d’une force newtonienne répulsive.

– Déterminer l’expression de la vitesse puis de l’énergie mécanique d’un satellite de masse $m$ en orbite supposée circulaire de rayon $R$ autour d’une planète de masse $m_O$ .
– Sans démonstration, comment généraliser cette expression de l’énergie mécanique au cas où la trajectoire est elliptique (demi-grand axe $a$ , demi-petit axe $b$ ) ?

Déterminer la vitesse $v$ d’un satellite en orbite circulaire de rayon $R$ autour de la Terre. En déduire le rayon $R_{geostat}$ de l’orbite géostationnaire (vous pouvez demander à l’interrogateur les valeurs numériques des constantes dont vous auriez éventuellement besoin pour l’application numérique).

– Définir ce qu’on appelle la « première vitesse cosmique », puis déterminer son expression pour la Terre.
– Rappeler son ordre de grandeur (qui est donc à connaître).

– Définir ce qu’on appelle la « deuxième vitesse cosmique », puis déterminer son expression pour la Terre.
– Rappeler son ordre de grandeur (qui est donc à connaître).

Bien entendu, tous les savoir-faire liés aux chapitres précédents restent exigibles.

MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGÉES DANS UN CHAMP ELECTRIQUE PUIS MAGNÉTIQUE UNIFORME ET PERMANENT

Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle : champ électrique et magnétique
– Evaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces gravitationnelles.

Puissance de la force de Lorentz
– Savoir qu’un champ électrique peut modifier l’énergie cinétique d’une particule alors qu’un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d’énergie à la particule.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
– Mettre en équation le mouvement et le caractériser comme un mouvement à vecteur-accélération constant.
– Effectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d’une particule chargée accélérée par une différence de potentiel.

Mouvement circulaire d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme dans le cas où le vecteur-vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétique
– Déterminer le rayon de la trajectoire.

THEOREME DU MOMENT CINETIQUE (EN MECANIQUE DU POINT !)

Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point et par rapport à un axe orienté
– Relier la direction et le sens du vecteur moment cinétique aux caractéristiques du mouvement.
– Maîtriser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire.
Moment d’une force par rapport à un point ou un axe orienté
– Calculer le moment d’une force par rapport à un point ou à un axe orienté.
– Théorème du moment cinétique en point fixe dans un référentiel galiléen. Loi scalaire du moment cinétique dans un référentiel galiléen.
– Reconnaître les cas de conservation du moment cinétique.

MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCES CENTRALES CONSERVATIVES

Point matériel soumis à un seul champ de force centrale.
– Déduire de la loi du moment cinétique la conservation du moment cinétique.
– Connaître les conséquences de la conservation du moment cinétique : mouvement plan, loi des aires.

Energie potentielle effective. Etat lié et état de diffusion.
– Exprimer la conservation de l’énergie mécanique et construire une énergie potentielle effective.
– Décrire qualitativement le mouvement radial à l’aide de l’énergie potentielle effective. Relier le caractère borné à la valeur de l’énergie mécanique.

Champ newtonien. Lois de Kepler.
– Enoncer les lois de Kepler pour les planètes et les transposer au cas des satellites terrestres.
– Cas particulier du mouvement circulaire : satellite, planète.
– Montrer que le mouvement est uniforme et savoir calculer sa période.
– Etablir la troisième loi de Kepler dans le cas particulier de la trajectoire circulaire. Exploiter sans démonstration sa généralisation au cas d’une trajectoire elliptique.

Satellite géostationnaire.
– Calculer l’altitude du satellite et justifier sa localisation dans le plan équatorial.

Energie mécanique dans le cas du mouvement circulaire puis dans le cas du mouvement elliptique.
– Exprimer l’énergie mécanique pour le mouvement circulaire.
– Exprimer l’énergie mécanique pour le mouvement elliptique en fonction du demi grand axe.

Vitesses cosmiques : vitesses en orbite basse et vitesse de libération
– Exprimer ces vitesses et connaître leur ordre de grandeur en dynamique terrestre.

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