Vendredi 08/11/2024 – La Physique en PCSI

Au menu des colles de cette semaine de rentrée : les oscillateurs, amortis et non amortis (= harmoniques). Après la traditionnelle question de cours (liste en bas ce cette page), on pourra poser :

soit l’étude d’un circuit électrique quelconque du 2nd ordre,
soit l’étude d’un système mécanique masse-ressort avec ou sans frottement fluide (dans les limites du cadre restrictif exposé ci-dessous).

Seul le régime transitoire est au programme, et le régime permanent constant (nous n’avons pas abordé le régime permanent sinusoïdal forcé).

Les portraits de phase ne sont plus au programme depuis 2021.

REMARQUES IMPORTANTES POUR LES INTERROGATEURS, si vous choisissez de poser un oscillateur mécanique plutôt qu’électrique :
1 – on ne pourra pas (pour l’instant) poser d’exercices nécessitant de projeter des forces à l’aide de fonctions cosinus et sinus, car les étudiants n’ont pas encore appris à faire des projections (donc, pas de système masse-ressort sur plan incliné, par exemple) ;
2 – en revanche, il est envisageable de proposer des systèmes à plusieurs ressorts, par exemple, et/ou de demander une résolution grâce à la conservation de l’énergie plutôt que grâce au P.F.D. (puisque l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique sont connues) ;
3 – attention : seuls les frottements fluides sont connus (avec le modèle de frottements proportionnels à la vitesse : $\overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}$ , l’expression du coefficient de proportionnalité $\alpha$ entre force de frottement et vitesse n’étant pas à connaître), les frottements solides, eux, ne sont pas exigibles pour l’instant (nous ne les introduirons qu’en janvier) ;
4 – dans cette partie « Signaux physiques » du cours, l’explication de ce qu’est un « référentiel galiléen » n’a pas encore été abordée de manière rigoureuse (on en a seulement discuté de manière informelle, oralement).
De manière générale, les fondements de la mécanique du point ne seront abordés qu’au mois de janvier quand nous commencerons pour de vrai la partie « Mécanique » du cours – pour l’instant nous sommes dans la partie « Signaux physiques » où nous nous contentons d’étudier des dispositifs avec ressorts, mais sans aller bien loin, simplement pour souligner la forte analogie avec l’électrocinétique.

Les étudiants vont avoir un D.S. sur les oscillateurs harmoniques et amortis (et aussi sur le premier ordre) le lendemain de ces colles (samedi 19) !…

Dans l’étude du circuit électrique, outre la détermination puis la résolution de l’équation différentielle du second ordre, on pourra évaluer :

la détermination des signaux juste après la bascule d’un interrupteur, en utilisant les continuités, même lorsque ces conditions initiales sont non triviales ;
- –> A ce sujet, bien vérifier que les étudiants ne confondent pas ${\left \frac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t} \right|}_{t=0^+}$ (valeur de la dérivée en $0^+$ ) avec $\frac{\textrm{d}\left( s(0^+) \right)}{\textrm{d}t}$ (dérivée de la valeur en $0^+$ , qui vaut évidemment toujours $0$ )
la détermination des signaux en régime permanent constant en utilisant les comportements équivalents de la bobine et du condensateur.

Lorsque c’est possible, on attirera l’attention des étudiants sur la possibilité d’associer des résistances ou d’utiliser des ponts diviseurs, pour répondre plus facilement aux questions posées.

Questions de cours
Compétences exigibles en exercices

Sur un oscilloscope, qu’est-ce qu’il faut faire quand le signal n’est « pas stable » à l’écran (quand « ça défile ») ?

Sur un oscilloscope, à quoi correspondent le « mode AC » et le « mode DC » ?

On réalise un circuit « RC série » alimenté par un GBF de classe 1 (la borne noire de sa sortie est reliée à la terre).
On souhaite visualiser à l’oscilloscope (si c’est possible) :
– en voie 1 : la tension aux bornes du GBF,
– en voie 2 : la tension aux bornes du condensateur.
L’oscilloscope est également de classe 1 (les bornes noires de ses deux voies d’entrée sont reliées à la terre).
1) Reproduire au tableau le schéma ci-dessous en dessinant les fils de mesure.
Si ce n’est pas possible en l’état, proposer une solution.

2) Même question, mais cette fois-ci on souhaite visualiser (si c’est possible) :
– en voie 1 : la tension aux bornes du condensateur,
– en voie 2 : la tension aux bornes de la résistance.

• Établir l’équation différentielle du mouvement du système masse-ressort horizontal en modélisant les frottements de l’air par une force proportionnelle à la vitesse.
• En déduire la pulsation propre $\omega_0$ de cet oscillateur, et le facteur de qualité $Q$ .
• Si l’on choisit maintenant de négliger les frottements de l’air, qu’est-ce qui change dans l’équation différentielle ? Quel type de système retrouve-t-on ?

• Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur, dans un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension.
• En déduire la pulsation propre $\omega_0$ de ce circuit, et le facteur de qualité $Q$ .
• Si l’on choisit maintenant de négliger la résistance, qu’est-ce qui change dans l’équation différentielle ? Quel type de système retrouve-t-on ?

• Rappeler l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique (forme canonique).
• Donner les deux formes (équivalentes) de la solution générale de cette équation différentielle.

Rappeler l’expression (sans démonstration) de l’énergie potentielle élastique $E_{pe}$ d’une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ .

• Écrire l’expression générale d’un signal sinusoïdal $s(t)$ .

• Entourer dans l’expression précédente :
– l’amplitude,
– la phase à l’origine,
– la pulsation,
et expliquer oralement ce qui « change » dans le signal lorsque l’on fait varier chacun de ces trois paramètres (pour réviser, aidez-vous de cette animation : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/sinus.php?typanim=Javascript ).

• Rappeler puis démontrer l’expression de la période $T$ d’un tel signal, en fonction de $\omega$ .

• Rappeler la forme canonique d’une équation différentielle du second ordre, en introduisant la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ (on prendra un second membre nul).
• Résoudre cette équation différentielle dans les trois cas possibles, en précisant la valeur du facteur de qualité correspondant.
• Si le second membre de l’équation différentielle n’est pas nul, que faut-il faire avant de chercher les constantes d’intégration ?

Dans le cas du régime transitoire pseudo-périodique, les pseudo-oscillations du système pendant le régime transitoire se font-elles à sa pulsation propre $\omega_0$ , ou bien à une pulsation différente ? Si le facteur de qualité est « assez grand », que peut-on néanmoins considérer ?

On donne l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur dans le circuit RLC série :
$\frac{d^2 u_c}{dt^2}+ \frac{R}{L}\frac{d u_c}{dt}+\frac{1}{LC}u_c=\textrm{second membre}$
On donne aussi l’équation différentielle vérifiée par la position de la masse dans le système « masse-ressort » horizontal avec frottements fluides $\overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}$ :
$\frac{d^2 x}{dt^2}+ \frac{\alpha}{m}\frac{d x}{dt}+\frac{k}{m}x=\textrm{second membre}$
Quelles analogies entre grandeurs électriques et mécaniques pouvez-vous mettre en évidence ?
Et pour les grandeurs énergétiques ?

• Quel est le comportement équivalent d’un condensateur en régime permanent constant ? Le démontrer.
• Même question pour une bobine.

• Quel est le dipôle qui ne peut pas voir le courant qui le traverse subir de discontinuité ? Comment l’expliquer ?
• Quel est le dipôle qui ne peut pas voir la tension à ses bornes subir de discontinuité ? Comment l’expliquer ?

Utiliser la loi des mailles.
Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur.
Citer les ordres de grandeur des intensités et des tensions dans différents domaines d’application.
Utiliser les relations entre l’intensité et la tension pour les dipôles R, L, et C.
Citer les ordres de grandeurs des composants R, L et C.
Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.
Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine.
Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par une résistance équivalente.
Établir et exploiter les relations de diviseurs de tension ou de courant. (Note pour les colleurs : les capacités ou inductances équivalentes à l’association série ou parallèle de condensateurs ou de bobines n’est plus un résultat de cours exigible.)
Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l’évolution d’un système du premier ou du second ordre soumis à un échelon.
Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans une bobine.
Établir l’équation différentielle du premier ou du second ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles.
Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon.
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Stockage et dissipation d’énergie : réaliser des bilans énergétiques.
Analyser, sur des relevés expérimentaux, l’évolution de la forme des régimes transitoires en fonction des paramètres caractéristiques.
Prévoir l’évolution du système à partir de considérations énergétiques.
Écrire sous forme canonique l’équation différentielle afin d’identifier la pulsation propre et le facteur de qualité.
Connaître la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité. Déterminer la réponse détaillée dans le cas d’un régime libre ou d’un système soumis à un échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, selon la valeur du facteur de qualité.

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